[理学]概率论与数理统计习题

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1、概率论与数理统计典型习题讲解中国人民大学统计学院李因果liyinguoruc@163.com第一章随机事件与概率§1.2随机事件的概率§1.3古典概型与几何概型一.古典概型§1.4条件概率例2一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A--从盒中随机取到一只红球.B--从盒中随机取到一只新球.例3盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,

2、试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。例6商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示

3、事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:二.有限个事件的独立性第二章随机变量的分布与数字特征§2.1随机变量及其分布一.随机变量的概念由第一章可知:随机试验具有:(1)结果的不确定性;(2)结果往往表现为数量形式,或可以“数量化”.分布函数的性质1、单调不减性：若x1

4、分必要性质。一般地，对离散型随机变量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应值的概率;反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型.XP四.离散型随机变量的分布函数五.连续型随机变量及其概率密度1.均匀分布若X～f(x)＝则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作X~U(a,b)对任意实数c,d(a0的指数分布。其分布函数为例.电子

5、元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解§2.2随机变量的数字特征一.离散型随机变量的数字特征二.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量函数的密度函数1、一般方法若Xf(x),-

6、)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。2注意定义域的选择其中h(y)为y＝g(x)的反函数.例设XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0)解:Y=ax+b关于x严单,反函数为故而故设随机变量X服从[0，2]均匀分布，求Y=sin(X)的概率密度。注3若X～fX(x)，y=g(x)关于X分段严格单调，且在第i个单调区间上，反函数为hi(y),则Y=g(X）的概率密度为EX四.数学期望的性质方差与标准差的定义方差的算术平方根称为标准差设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2<∞，则称.D(X)

7、=E[X-E(X)]2为X的方差.方差的计算式:D(X)=E(X2)-[E(X)]2说明:1.切贝谢夫不等式成立的条件是:存在.2.切贝谢夫不等式给出了随机变量的离差的绝对值与其方差DX的关系.方差DX越小,随机变量X与其期望EX的离差也越小.EX()XEX的代表性强.§2.3常用的离散型分布四.二项分布对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；([x]表示不超过x的

8、最大整数)n=10,p=0.7nPk二项分布请看演示§2.4常见的连续型分布一.均匀分布二.指数分布指数分布常用于描述各种“寿命”.三.正态分布决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点设X~,X的分布函数是§2.5随机变量的函数的分布例如:已知离散型随机变量X的概