等差数列的性质及其应用+-+教师

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1、等差数列的性质学习目标：熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式. 学习重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用学习难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 1.当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0。2.若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。3.当时,则有，特别地，当时，则有。注：，4.若、为等差数列，则，都为等差数列。5.若{}是等差数列，则，…也成等差数列。6.数列为等差数列，每隔项取出一项()仍为等差数列。7.设数列是等差数列，为公差，是奇

2、数项的和，是偶数项项的和，是前项的和(1)当项数为偶数时，(2)当项数为奇数时，则9（其中是项数为的等差数列的中间项）。8.，的前和分别为、，且，则。9.等差数列的前项和，前项和，则前项和。10.求的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和。即当由可得达到最大值时的值。（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即当由可得达到最小值时的值。或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前项和的图像

3、是过原点的二次函数，故取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若则其对称轴为。判断一个数列是否是等差数列，一般有以下五种方法：1.定义法：（常数）（）是等差数列。2.递推法：（）是等差数列。3.性质法：利用性质来判断。4.通项法：（为常数）是等差数列。5.求和法：（为常数，为的前项的和）是等差数列。其中4、5两种方法主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是否是等差数列，一般用1、2、3这三种方法，而方法3还经常与1、2混合运用。下面举例说明如何判断一个数列是等差数列。9【例题讲解】例1：已知成等差数列，求证：也成等差数列。解

4、法一：∵成等差数列，又∵即也成等差数列。解法二：∵，，成等差数列，∴，，也成等差数列，即，，也是等差数列，故，，也是等差数列。9例2：设数列中，，且（），证明数列是等差数列，并求。解：由已知，去分母得，，两边同除以，得，∴是以为首项，以2为公差的等差数列，故（）。经验证时也成立，所以（）。例3：设数列的前项和为，若对于所有的自然数，都有，证明是等差数列。例4：已知数列是等差数列,且有，求。例5：数列是等差数列，且有，，求。解法一：因为数列为等差数列，所以可设其中为不同时为0的常数，则有9（1）（2）得∵即。解法二：，因此点在同一直线上，即，所以。[

5、变]:等差数列的前项和为，若，，求（其中是正整数，且）。解法一：从首项和公差这两个基本量出发。设数列的首项，公差为，由题目条件可得到可以解得，。解法二：从具有的形式出发。9由，可见具有的形式（其中）。故可设，则有，解得.解法三：从等差数列自身性质出发。不妨设，则有.由是等差数列，知，,可以解出..解法四：从的形式出发。由，有，设，则数列是等差数列。设公差为，则=9从而。解法五：利用解析几何中直线的知识。由解法二知，，是关于的一次式，则在直角坐标系下，三点共线，解得。解法六：由解法一得数列的公差，这里不妨设，例6：等差数列的前项的和为30，前项的和为

6、100，求它的前项的和为_________。9例7：等差数列中,,那么的值是.【巩固练习】1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为.2．等差数列{an}中，a15=33，a45=153，则217是这个数列的.3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为.4、等差数列{an}中，a1+a7=42，a10-a3=21，则前10项的S10等于.5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么a：b等于.6、已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数列{Cn}，其通项公式为

7、.7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有项8、设数列{an}和{bn}都是等差数列，其中a1=25，b1=75，且a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项和为.9、在等差数列{an}中，an=m，an+m=0，则am=______。10、在等差数列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16=______。11．在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到a30的和是_____

8、_。12．已知等差数列110，116，122，……，则大于450而不大于602的各9项之和为______。13．已知等差数