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1、等差数列及其前n项和(一)-----高考复习研讨课主讲人:吴茶申一、知识梳理1、等差数列的定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于___________,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的_____,一般用字母d表示,定义的表达式为:_______________.同一个常数公差an+1-an=d(n∈N*)2、等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a,b的等差中项,且A=____.3、等差数列的通项公式:若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为a
2、n=_________.a1+(n-1)d4、等差数列的前n项和公式:已知条件前n项和公式a1,an,nSn=a1,d,nSn=5、等差数列的性质(1)通项公式的推广:an=am+_______(n,m∈N*).(2)若{an}是等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则__________;p+q=2m________(p,q,m∈N*).(3)Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,______成等差数列.如下图所示：(n-m)dam+a
3、n=ap+aqap+aq=2amS3m-S2m(4)两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为(5){an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)是{an}成等差数列的条件.(6)等差数列的增减性:d>0时为_____数列,且当a1<0时前n项和Sn有最小值.d<0时为_____数列,且当a1>0时前n项和Sn有最大值.充分不必要递增递减【小题快练】1.判断对错(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2){an}为等差数列的充要条件是对任
4、意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( )(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( )(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )×√√××2.已知等差数列-5,-2,1,…,则该数列的第20项为.答案:523.在100以内的正整数中有个能被6整除的数.答案:164.在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( )A.5B.8C.10D.14答案：B.因为a1+a7=a3+a5,所以a7
5、=(a3+a5)-a1=10-2=8.5.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17为一确定常数,则下列各式也为确定常数的是( )A.a2+a15B.a2·a15C.a2+a9+a16D.a2·a9·a16【解析】选C.因为S17为一确定常数,根据公式可知a1+a17为一确定常数,又a1+a17=a2+a16=2a9,所以a2+a9+a16为一确定常数,故选C.考点1等差数列的基本运算例1:考点精讲【规律方法】1.等差数列运算问题的通性通法及巧法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,
6、然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.变式训练1.已知等差数列的前n项和为，若，，则（）A.8B.10C.12D.14C考点2等差数列的判定与证明例2：【规律方法】等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-
7、an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列.(3)通项公式法:得出an=An+B后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列{an}为等差数列.(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.提醒:等差数列主要的证明方法是定义法和等差中项法,而对于通项公式和前n项和公式的方法只是作为判断，主要适合在选择题或填空题中简单判断.变式训练2(1)设an=(n+1)2,bn=n2-n(
8、n∈N*),则下列命题中不正确的是( )A.{an+1-an}是等差数列B.{bn+1-bn}是等差数列C.{an-bn}是等差数列D.{an+bn}是等差数列D考点3等差数列性质的应用命题角度1:根据等差数列的性质求基本量例3：等差数列{an}前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于( )A.3B.6C.17D.51【参考解答】选A.由于S17=×17=17a9=51,所以a9=3.根据等差数列的性质a5+a13
