等差数列的性质及应用

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1、第2课时等差数列的性质及其应用1.已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.2.若a3＝5，则a1＋2a4＝________若m＋n＝p＋q则am+an＝ap＋aq若m＋n＝2p则am+an＝2ap已知等差数列{an}的公差是正数，并且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求数列{an}的通项公式．3.设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13解：{an}是公差为正数的等差数列，设公差为d，∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5又a

2、1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝25-d2=16∴d＝3或d＝－3(舍去)∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.4.若a15＝8，a60＝20，则a75＝________.an＝am＋(n-m)d(m，n∈N*)等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性a1＋an＝(2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有(3){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递___数列；d<0⇔{an}为递___数列；d＝0⇔{an}为___数列．2．数　列结　论{c

3、＋an}{c·an}{pan＋qbn}a2＋an－1＝a3＋an－2＝……等差数列的“子数列”的性质若数列{an}是公差为d的等差数列，则(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为____的等差数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为____的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为____的等差数列；(3)从等差数列{an}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差也随之发生变化．2．5.三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；6.四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求

4、这四个数．(1)三个数成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；(2)四个数成等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解设此四数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.【变式】由递推关系式构造等差数列求通项(1)求证：数列{bn}为等差数列．(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，

5、是第11项．(1)求证：数列{an－2n}为等差数列；(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通项公式．解(1)(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(与n无关)，故数列{an－2n}为等差数列，且公差d＝1.(2)由(1)可知，an－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，故an＝2n＋n－1，所以bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.【变式】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于

6、市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220<0，解得n>11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．【变式】