矩阵论试卷及答案(2012.1A) (1)

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1、南京航空航天大学2011级硕士研究生共5页第1页2011~2012学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷考试日期：2012年1月9日，课程编号：A000003，命题教师：阅卷教师：学院专业学号姓名成绩一（20分）设。（1）求的特征多项式和的全部特征值；（2）求的行列式因子，不变因子，初等因子和最小多项式；（3）写出的Jordan标准形。（1），3’的特征值；3’（2）的行列式因子；3’的不变因子；3’的初等因子；2’的最小多项式;1’（3）的Jordan标准形。5’共5页第2页二（20分）（1）设，求；

2、（2）设，证明：（i）对阶酉矩阵和阶酉矩阵，有；（ii）若，为的全部正奇异值，则。（1）2’;4’;2’.2’(2)(i)5’(ii)因为，则由奇异值分解定理知，存在阶酉矩阵和阶酉矩阵，使得，其中，从而5’共5页第3页三（20分）设，.（1）计算A的满秩分解；（2）计算广义逆矩阵；（3）用广义逆矩阵判定线性方程组是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。（1）；8’（2）2’6’（3）因为，所以不相容。2’的极小最小二乘解为。2’共5页第4页四（20分）（1）设，判断是否是正定或半正

3、定矩阵，并说明理由；（2）设是n阶Hermite正定矩阵，是n阶Hermite矩阵，证明：相似于实对角矩阵；（3）设，均为n阶Hermite矩阵，并且，是的特征值，证明：存在的特征值和的特征值，使得。（1）因为的顺序主子式，所以不是正定的。4’因为有一个主子式或，所以也不是半正定的。4’（2）因为是n阶Hermite正定矩阵，则存在可逆Hermite矩阵，使得，从而相似于。3’又因为是Hermite矩阵，则是Hermite矩阵。由Hermite矩阵的谱分解相似于实对角矩阵，再由相似的传递性知，相似于

4、实对角矩阵。3’（3）因为，均为n阶Hermite矩阵，并且，则存在n阶酉矩阵，使得。3’从而，即相似于对角矩阵。因此，如果是的特征值，则存在的特征值和的特征值，使得。3’共5页第5页五（20分）设表示实数域上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间。（1）确定的维数，并写出的一组基；（2）对，在上定义线性变换如下：，求在（1）中所取基下的矩阵表示；（3）求（2）中线性变换的值域和核，并确定它们的维数；（4）在中定义内积求的一组标准正交基。（1），2’的一组基为。3’（2）因为则在基下的矩阵为

5、。6’（3），1’，1’，1’。1’（4）的一组标准正交基为；1’；2’。2’