南航矩阵论试卷.doc

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1、南京航空航天大学2015级硕士研究生共5页第1页2015~2016学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷考试日期：2015年12月28日课程编号：A080001命题教师：阅卷教师：学院专业学号姓名成绩一、(20分)设阶矩阵．1．求的特征多项式和初等因子；2．求的最小多项式和Jordan标准形；3．问：与矩阵是否相似？并说明理由．案及评分标准：1.特征多项式为；初等因子为.2.的最小多项式是，Jordan标准形为.3.因为的初等因子为，与的初等因子不同,所以与不相似.（5分）共5页第2页二、(20分)设，映射使得.1．证明是的一个子空间，并求它的维数和基；

2、2．证明是的线性变换，并求在题1所取基下的矩阵；3．求的核与值域的维数和基；4．证明：.答案及评分标准:1.直接验证，知是线性子空间.的维数是3，一组基是.2.直接验证,知是线性变换.在题1所取基下的矩阵是.3.由于，所以，为的一组基；由于，所以，是的一组基.4.由于，所以.共5页第3页三、(20分)设非齐次线性方程组相容，其中，.1．作出的一个满秩分解；2．求的加号逆；3．求方程组的极小范数解（要求解中不含有参数t）．答案及评分标准:1.的一种满秩分解为；(注意：满秩分解不唯一，需要检验)．2.因为,所以.3.由相容性,解得,从而极小范数解为.共5

3、页第4页四、(20分)设矩阵.1．求；2．证明对于中的任意矩阵，有；3．证明矩阵幂级数绝对收敛，并求其和．答案及评分标准:1..由于,所以.2.由矩阵2范数的相容性,有．另一方面，由题１的计算过程知，从而，即．3.已知幂级数的收敛半径为3,且,则矩阵幂级数绝对收敛,且.共5页第5页五、(20分)设分别是n阶Hermite正定矩阵和半正定矩阵，证明：1．相似于Hermite半正定矩阵；2．若，则；3．若，则．答案及评分标准:1.,这里是可逆的Hermite矩阵,从而.由于,所以,即相似于Hermite半正定矩阵.2..由题1的结论，的特征值满足条件于是

4、．3..