南航矩阵论试卷.docx

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1、南京航空航天大学2015级硕士研究生共5页第1页2015~2016学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷考试日期：2015年12月28日课程编号：A080001命题教师：阅卷教师：学院专业学号姓名成绩211一、(20分)设3阶矩阵A010．1101．求A的特征多项式和初等因子；2．求A的最小多项式和Jordan标准形；1003．问：A与矩阵B110是否相似？并说明理由．111案及评分标准：1.特征多项式为f()(1)3；初等因子为1,(1)2.1002.A的最小多项式是

2、m()(1)2，Jordan标准形为J011.0013.因为B的初等因子为(1)3，与A的初等因子不同,所以A与B不相似.（5分）共5页第2页二、(20分)设V{XR22

3、tr(X)0}，映射使得(X)XXT,XV.1．证明V是R22的一个子空间，并求它的维数和基；2．证明是V的线性变换，并求在题1所取基下的矩阵；3．求的核ker()与值域R()的维数和基；?4．证明：Vker()R().答案及评分标准:1.直接验证，知V是线性子空间.V的维数是3，一组基是10010010,20,31.1002.直接验证

4、,知是线性变换.000在题1所取基下的矩阵是A011.0113.由于ker()span{1,23}，所以dim(ker())2，1,23为ker()的一组基；由于R()span{23}，所以dim(R())1，23是R()的一组基.4.?由于dim(ker())dim(R())3dim(V)，所以Vker()R().共5页第3页101t三、(20分)设非齐次线性方程组Ax相容，其中A011，9.11291．作出A的一个满秩分解；2．求A的加号逆A；3．求方程组Ax的极小范数解（要求解中不含有参数t）．答案

5、及评分标准:10011.A的一种满秩分解为A01BC；111101(注意：满秩分解不唯一，需要检验)．121121(B)T12.因为B12,C12,所以31311541ACB151.491213.由相容性,解得t0,从而极小范数解为xA(3,6,3)T.共5页第4页111四、(20分)设矩阵A111.0121．求A1,A,AF,A2；2．证明对于C33中的任意矩阵B，有2B2AB26B2；3．证明矩阵幂级数1kAk绝对收敛，并求其和．k03答案及评分标准:1.A14,A3,AF11.200由于ATA030

6、,所以A26.0062.由矩阵2范数的相容性,有AB2A2B26B2．另一方面，由题１的计算过程知A11，从而22B2A1AB2A12AB21AB2，2即2B2AB2．3.已知幂级数1kxk的收敛半径为3,且(A)A23,则矩阵幂级数k031kAk绝对收敛,且k0311A)11303Ak(I3(3IA)1121.k03k32127共5页第5页五、(20分)设A,B分别是n阶Hermite正定矩阵和半正定矩阵，证明：1．AB相似于Hermite半正定矩阵；2．若3．若AAABA，则I1B

7、AB，则AAB1；B．答案及评分标准:1.A0AS2,这里S是可逆的Hermite矩阵,从而S1ABSSHBS.由于B0,所以SHBS0,即AB相似于Hermite半正定矩阵SHBS.2.AABA(AB)1.由题1的结论，AB的特征值满足条件011,021,,0n1.于是IAB(11)(12)(1n)1．3.ABA1B[(BA1)2]1(BA1)1AB.