南航07-14矩阵论试卷.doc

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1、南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007~2008学年《矩阵论》课程考试A卷一、（20分）设矩阵，（1）求的特征多项式和的全部特征值；（2）求的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求的最小多项式，并计算；（4）写出的Jordan标准形。二、（20分）设是实数域上全体实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。（1）求的维数，并写出其一组基；（2）设是全体实对称矩阵的集合，证明：是的子空间，并写出的维数和一组基；（3）在中定义内积，求出的一组标准正交基；（4）给出上的线性变换：写出线性变换在（1）中所取基下的矩阵，并求的核和值域。三、（2

2、0分）（1）设，求，，，；（2）设，令，证明：是上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：。四、（20分）已知矩阵，向量，（1）求矩阵A的分解；（2）计算；（3）用广义逆判断方程组是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。五、（20分）（1）设矩阵，其中为实数，问当满足什么条件时,成立？（2）设阶Hermite矩阵，其中，证明：。（3）已知Hermite矩阵，，证明：正定。2007~2008学年《矩阵论》课程考试B卷一．（20分）已知矩阵，（1）求的不变因子、初等因子及最小多项式；（2）求的Jordan标准形及可逆变换矩阵，使得；（3）问矩阵序列是否

3、收敛？.二．（20分）（1）已知矩阵，求（2）设为阶可逆矩阵，是上的相容范数，为的任一特征值，证明：。三．（20分）表示实数域上次数不小于3的多项式与零多项式构成的线性空间，对，记，在上定义线性变换：（1）给出的一组基，并求出线性变换在该基下的表示矩阵；（2）求线性变换的特征值和特征向量；（3）判断线性变换是否可对角化？若可以，给出对角化的一组基；若否，证明之。四．（20分）（1）设，试给出的满秩分解，并计算；（2）设，利用广义逆矩阵判断线性方程组是否相容？若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。五．（20分）（1）设,其中是实数，问满足什么条件时，成立？（

4、2）设为阶Hermite矩阵，对任意，记，证明：。（3）设阶Hermite矩阵，其中，如果证明：。2008~2009学年《矩阵论》课程考试A卷一（20分）设,（1）求的特征多项式和的全部特征值；（2）求的不变因子、初等因子和最小多项式；（3）写出的Jordan标准形。二（20分）（1）设，求；（2）设是上的相容矩阵范数，证明：（i）如果是n阶可逆矩阵，是的任一特征值，则；（ii）如果是可逆矩阵，令，则是上的相容矩阵范数。三（20分）设，，（1）作出A的满秩分解，计算；（2）应用广义逆矩阵判定线性方程组是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解；（3）设

5、是实矩阵，是维实向量，证明：不相容线性方程组的最小二乘解唯一当且仅当列满秩。四(20分)设表示实数域上全体上三角矩阵作成的线性空间（对矩阵的加法和数量乘法）。（1）求的维数，并写出的一组基；（2）在中定义线性变换：,求在（1）中所取基下的矩阵表示；（3）求（2）中线性变换的值域和核，并确定它们的维数；（4）在中能否取一组基使得（2）中线性变换在所取基下的矩阵为对角矩阵？如果能，则取一组基；如果不能，则说明理由。五（20分）设为n阶Hermite矩阵，证明：存在唯一Hermite矩阵使得；（2）如果，则；（3）如果，则。2009~20010学年《矩阵论》课程考试A卷一

6、、（20分）设， （1）求A的特征多项式和A的全部特征值； （2）求A的不变因子、初等因子和最小多项式； （3）写出A的Jordan标准型J； （4）求可逆矩阵P，使。二、（20分）（1）设，求；（2）设，令×，证明是上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）设A,B均为n阶矩阵，并且AB=BA，证明：如果A有n个互异的特征值，则B相似于对角矩阵。三、（20分）设表示实数域R上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。（1）在中定义线性变换T：求变换T在基下的矩阵；（2）求T的值域R(T)和核ker(T)的维数和基；（3）求线

7、性变换T的特征值及特征向量；（4）在中定义内积,求出的一组标准正交基。四、（20分）（1）设，其中t为实参数，问t取何值时A正定；（2）设A是n阶Hermite矩阵，证明：A半正定的充分必要条件是A的特征值均为非负实数；（3）已知n阶矩阵³，证明，并且等号成立的充分必要条件为A=0。五、（20分）（1），(i)做出A的满秩分解，并计算+；(ii)用广义逆矩阵判定线性方程组Ax=b是否相容，若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解；（2）设A,B,C分别为,,矩阵，则矩阵方程AXB=C有解的充分必要条件是。2010~2011学年《矩阵论》课程考试A卷一（20