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时间：2018-10-24
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1、共5页第5页一、（20分）设，（1）求的特征多项式和的全部特征值；（2）求的不变因子、初等因子和最小多项式；（3）写出的Jordan标准形J。（4）求可逆矩阵P，使P-1AP=J。共5页第5页二（20分）（1）设，求，，，；（2）设，令，证明：是上的矩阵范数，并且是相容范数；（3）设A,B均为n阶矩阵，并且AB=BA，证明：如果A有n个互异的特征值，则B相似于对角阵。共5页第5页三（20分）设表示实数域R上次数小于3的多项式再添上与零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。（1）在中定义线性变换T：求变换T在基1,x,x2下的矩阵；（2）求T的值域R(T)和Ker(
2、T)的维数和基；（3）在中定义内积，求出的一组标准正交基。共5页第5页四（20分）（1）设，其中t为实参数，问t取何值时A正定；（2）设A是n阶Hermite矩阵，证明：A半正定的充分必要条件是A的特征值均为非负实数。（3）已知n阶矩阵，证明：，并且等号成立的充分必要条件为。共5页第5页五（20分）（1）设，，（i）作出A的满秩分解，并计算A+；（ii）用广义逆矩阵判定线性方程组是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解；（2）设A,B,C分别为矩阵，则矩阵方程AXB=C有解的充分必要条件时AA+CB+B=C。
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