矩阵论试卷20111112

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1、2011年硕士生《矩阵论》试卷任课教师.学院专业学号姓名.一、填空题（共26分）1.（4分）实数域上的矩阵空间的维数为，其一组基为。2.（4分）可对角化的4阶实矩阵A的特征多项式是，则A的最小多项式为。3.（12分）设，，则，，，，。4.（4分）矩阵幂级数绝对收敛，则级数的和是。5.（2分）已知三阶矩阵A的特征值为0,0,1，=。二、判断题（每题2分，共10分）1.同一个线性变换在不同基下的矩阵是相合关系。（）2.数域P上的两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相同。（）3.设，则相似的充分必要条件是它们对应的特征矩阵有相同的不变因子。()4.n阶单位矩阵I的从属于任何向量范数的算

2、子范数都为1。（）5.设有矩阵序列则的充要条件是.()6三、计算题（共50分）1.(10分)在中,设基(I)：，，，，基(II):，，，，试求从基(I)到基(II)的过渡矩阵。2.（10分）在中的多项式为，A。求的一组基，使A在这组基下的矩阵为对角阵。63.（10分）在中，试分别用初等旋转变换（Givens变换）和镜像变换（Householder变换）把向量变为与同方向的向量。64.（10分）设，（1）求的Smith标准形；（2）分别写出A的不变因子和初等因子及其Jordan标准形。5.（10分）设欧氏空间中，内积。（1）求基的度量矩阵。（2）利用（１）中的度量矩阵计算的内积。6四、证明

3、题（共14分）1.（7分）设是欧氏空间中的非零向量，定义变换：A=，，（1）验证：A是线性变换；（２）证明A是正交变换的充要条件是。62.（7分）设是实数域R上的赋范线性空间。在基（I）：下的坐标为，为中的向量2-范数。（1）证明：是中的向量范数；（2）设在基（II）：下的坐标为Y，且由基（I）到基（II）的过渡矩阵为C，证明的充要条件为C是正交矩阵。6