矩阵论之矩阵论.doc

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1、2.Jordan标准形介绍定理2.3线性变换有对角矩阵表示的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。定理2.4线性变换有对角矩阵表示的充分必要条件是：推论：若线性变换有个互异的特征值，则必有推论：上线性变换有对角矩阵表示的充分必要条件是可分解成的一维不变子空间的直和。2.2Jordan矩阵介绍一、Jordan矩阵定义2.3形如(2.3)的阶方阵称为一个阶Jordan块。由若干个Jordan块构成的准对角矩阵。称为Jordan矩阵。定理2.5在复数域上，每个阶方阵都相似于一个Jordan矩阵，即存在可逆矩阵使得其中为阶Jordan块，是阶Jordan矩阵，。若不计较Jordan块

2、的排列次序，则每个方阵的Jordan标准形是惟一的。一、Jordan标准形的求法讨论Jordan标准形的求法，涉及到如下形式的多项式矩阵或矩阵(1.35)的理论，其中为数域上的纯量的多项式。如果是数域上的阶矩阵，则的特征矩阵(1.36)就是一个特殊的多项式矩阵。多项式矩阵的标准形，是指使用矩阵的初等变换将化为如下形式的多项式矩阵其中，且是首1多项式（前面的几个可能是1）。例1.25试用初等变换化多项式矩阵为标准形。解：计算过程如下：最后所得矩阵是的标准形，此时，。可以证明，一个多项式的标准形(1.37)的对角线上的非零元素不随矩阵的初等变换而改变。因此，通常称为的不变因子或不

3、变因式。如果以表示的一切阶子式的最大（高）公因子，则的不变因子可由下面的公式(1.2.38)来计算。式(1.2.38)表明，的标准形(1.2.37)被惟一决定。把的每个次数大于零的不变因子分解为不可约因子的乘积，这样的不可约因式（连同它们的幂指数）称为的一个初等因子，初等因子的全体称为的初等因子组。确定的初等因子组的一个简便方法是：用初等变换将化为对角矩阵，若记对角线上的非零多项式为那么诸次数大于零的的全体不可约因式，就是的初等因子组。注意，初等因子组是随系数域不同而不同的。因为有些不变因子在有理数域上可能不可约，但在实数域或复数域上却是可约的。在复数域上，求阶矩阵的Jord

4、an标准形的步骤如下：第一步：求特征矩阵的的初等因子组，设为其中可能有相同的，指数也可能有相同的，且第二步：写出每个初等因子对应的Jordan块第三步：写出以这些Jordan块构成的Jordan标准形例1.26求矩阵的Jordan标准形。解求的初等因子组，由于因此，所求的初等因子组为于是有例求矩阵的Jordan标准形解为了求出的特征矩阵的初等因子组，先用式(1.2.38)求的不变因子。显然有而且因为整除每个3阶子式，且有所以从而于是得到的不变因子为即只有一个初等因子故定理1.30每个阶复矩阵都有一个Jordan标准形相似，这个Jordan标准形除去其中Jordan块的排列次序

5、外，是被惟一确定的。下面用例子说明怎样求所需要的非奇异矩阵的方法：设，其中(2.5)即，从而有(2.6)为表述简单，不妨取为代表来分析。设其中为阶Jordan块，由此可知(2.7)再把依列，列，…,列分块从(2.6)式有(2.8)设,结合(2.7),(2.8)式化为该矩阵等式等价于由个方程组成的方程组(2.9)从(2.9)式可以求得一组向量，我们称它为Jordan链。链中第一个向量是关于的特征向量，称为广义特征向量。它的长度就是的阶数.(2.9)给出的是一个递归过程。从求从求，等等。该过程到无解（不相容）时终止，便得到了Jordan链和的阶数。由(2.8)式，有多少个Jord

6、an块，就有多少条Jordan链，也就会有多少个线性无关的特征向量事实上是，矩阵关于的线性无关的特征向量的个数决定中Jordan块的个数。计算步骤归纳：1.求的特征多项式互异，从而为的重特征值，其代数重数决定的阶数为.2．由，求的线性无关的特征向量的几何重数决定有个Jordan块。3．若的代数重数等于几何重数：对应的Jordan矩阵为阶对角矩阵。若则在中选择适当特征向量由(2.9)式求Jordan链，确定的阶数，从而得到了的结构。4．所有Jordan链构成矩阵必有例3设求可逆矩阵和Jordan矩阵，使解.由得所以其中已被确定，或者从求得对应的特征向量，从求得对应线性无关的特征

7、向量，只有一个，所以可以确定只由一个Jordan块构成，即由(2.9)式求解取一个解得到所需的一个广义特征向量.故例4设求可逆矩阵和Jordan矩阵，使.解所以为的四重特征根，的代数重数为4，故是一个对角线元素为2的四阶Jordan矩阵。从即求得两个线性无关的特征向量因此的几何重数,这决定含两个Jordan块，她只有两种可能或取的增广矩阵为对应的方程组是相容的，由此解得，但的增广矩阵对应的方程组不相容（即无解），所以为一长为2的Jordan链，它对应一个二阶的Jordan块。再由,即得另一个广义特征向量