矩阵论矩阵分析.doc

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1、第三章矩阵分析在此Z前我们只研究了矩阵的代数运算，但在数学的许多分支和丁•程实际屮，特别是涉及到多元分析时，还要用到矩阵的分析运算.木章首先讨论矩阵序列的极限和矩阵级数，然后介绍矩阵函数和它的计算，最后介绍矩阵的微积分，以及矩阵分析在解微分方程纟H.和线性矩阵方程屮的应用.§3.1矩阵序列定义3・1设有中的矩阵序列｛卅)｝,其屮屮)=(硝)计•若Jim硝)=a..(i=1,2,…,加;丿=1,2,…,n),则称矩阵序列｛A(k)｝收敛于A=(勺)，”“，或称/为矩阵序列｛护｝的极限，记为limA(k｝=/或TA(kT+oo)不收敛的矩阵序列称为发散.由定义可见，C"心

2、屮一个矩阵序列的收敛相当于肋个数列同时收敛.因此，可以用初等分析的方法来研究它.但同时研究沏个数列的极限未免繁琐•与向量序列一样，可以利用矩阵范数来研究矩阵序列的极限•定理3・1设泸,/丘(2酬”伙=0丄2,・・・)・则limA(k)=A的充分必要条件是limyk)-A=0,其中是C'”x"上的任一矩阵范数.2+8II证先取Cnxfl±矩阵的G・范数.由于一atj

3、

4、/1(A)一A所以limA(k｝=A的充分必要条件是lim^k｝-A斤一》+ocIIG=0.又由范数的等价性知，对上任一矩阵范数,存在正常数弘几使得a

5、八_列.<

6、卅)—力

7、<0

8、

9、泸_A故limA(k}-AG=0的充分必要条件是lim^->+OC证毕推论设护,化严仇=0丄2,•…)limA(k}=A.则limAa)=A其屮IIII是cwx,/±任一矩阵范数.证由A(k}-p

10、

11、+OO(2)limA(k]B(k}=AB；上T+oo(3)当

12、/⑷与/均可逆时，hm(A(k)yl=A~'.证取矩阵范数，有(aA(k}+/3B(ky)-(aA+/3B^<

13、a

14、pw-j

15、

16、+

17、/7

18、

19、5u)-5

20、卜蚀伙)_吗=y(k)B(k}-A(k)B+A(k}B-AB制护

21、

22、卜⑷—列+

23、

24、泸一绷0

25、

26、rh定理3」和推论知⑴和⑵成立.因为(/")尸，存在，所以limdct/">=det/hO,又有limadjy4(A)=adU・于是lim(/⑹尸=lim业;=邑直=A'1证毕detA定理3.2(3)中条件A(k)与/都可逆是不可少的，因为即使所有的A(k}可逆也不能保证A1+—1一定可逆.例如泸=k(11丿(k-k对每一个

27、力⑷都有逆矩阵(A(k｝尸=,但屮k+)limA(k}=A:->+ooI]1)1丿而昇是不可逆的.在矩阵序列屮，最常见的是由一个方阵的幕构成的序列.关于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理.定义3・2设A€Cwxw,若lim卅)=0,则称/为收敛矩阵.£->+8定理3.3设力w，则/为收敛矩阵的充分必要条件是P(A)<・证必要性.己知/为收敛矩阵，则由谱半径的性质，有(p(A))k=p(Ak)

28、

29、

30、

31、是C®上任一矩阵范数，即有lim(p(A))k=0,故q⑷<1.充分也由于Q⑷<1,则存在正数£,使得Q⑷+£<1.根据定理2.14,存在C""上的矩阵范数

32、

33、

34、il,使得

35、

36、桃“(/)+£vi从而由得曲

37、现=0・故limAk=0.证毕kf七s推论设AV若对C""上的某一矩阵范数

38、

39、

40、

41、有p

42、

43、

44、N,称S(N)=工泸为矩阵级数的部分和.如果由部"0^=0+8分和构成的矩阵序列｛s(v)｝收敛，且有极限S,即HmS")=S,则称矩阵级数工A(k｝收k=0敛，而且有和S,记为s=XA（k）不收敛的矩阵级数称为发散的.k=Q如果记“，S=（5,）zmxm，显然S二工相当于R=0工矿=sij（心1,2,…,“;丿=1,2,…，刃）k=0即血刃个数项级数都收敛.例3.2已知（k+1）伙+2）丿兀伙=0丄…）研究矩阵级数工/⑷的敛散性.解因为S的二乞屮）二k=00N2"F7130所以/4-.I牡丿1———N+2）Ny幺伙+1）伙+2）丿1“S二limS