矩阵论试题及答案.pdf

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1、2006矩阵论试题答案一．填空（每题4分，共40分）2−38241．设A=212−212，则A的值域RA(){==∈yyAxx,R}的维数1314dimR(A)=2.2000000210000020002．设A的若当标准型J=，则A的最小多项式000−1100000−1100000−132ψ(λ)=(1λλ+−)(2).m−110110−3．设A=−430，则hAA()=5432−++−=33AAA3A430−.102−102−11+

2、ii4．设埃尔米特阵为A=1−i50，则矩阵A为正定的埃尔米特阵.−i0235．在R中有下列两组向量：TTTα1=−()3,1,−2，α2=−(1,1,1)，α3=−(2,3,1)；TTTβ1=()1,1,1，β2=()1,2,3，β3=(2,0,1)，−61−−91则由α,α,α到β,β,β的过渡矩阵P=−13−−421.123123−−27033133×22H6．设A∈C，Aam2={}∑∑ij，AA的非零特征值分别为3,5,15，ji==11则A=23.m212102101−

3、7．设AB==−−1111,1137，VV12,分别为齐次线性方程组Ax=0，Bx=0的解空间，则dim(V∩V)=1.12+−n1n(1)1(1−)nAnn118．设n=，则limAn=1.nn++121nn→∞3e()32nn−1213−9．设A=121，则A的LDUii分解为20210020011−232A=1210052001−1512/51004−/500124481224

4、204010．设A=，B=，则AB⊗=.−2520−−481020−40100二．（10分）设T为n维欧氏空间V中的线性变换，且满足：(Tx,y)=−(x,Ty)，T试证明：T在标准正交基下的矩阵A为反对称阵（A=−A）证明：设α,α,",α为V的标准正交基，A={a}，下证：a=−a：12nijn×nijji由T(α,α,",α)=(α,α,",α)A知12n12nTα=aα+aα+"+aα，Tα=aα+aα+"+aα，i1i12i2ninj1j12j2njn(Tα,α)=−(α,T

5、α)；ijij(Tα,α)=(aα+aα+"+aα,α)=a，ij1i12i2ninjji(α,Tα)=(α,aα+aα+"+aα)=a,iji1j12j2njnij所以：a=−a.ijji−4210三．（10分）在复数域上求矩阵A=−437的若当标准形J，并求出可逆−317−1矩阵P使得PAP=J.210解：A的若当标准形J=021.令P=(,,)ppp123，则有002Ap11212323==2,pApp+=2,pApp+2p;−−−6210062106210−=41

6、7pp120,417−=p1,417−=p3p2−−−3150315315201解得：ppp===(2,1,1),TTT(0,1,0),(1,2,1)−,P=112−.123101x1x2x3xxdf四.（10分）已知X=，f()Xe=+16sin(xxx)+x，求.2534xxxdX456∂∂∂fffdf∂∂∂xxxxexx16xcos(xx)x==12365254解答：xx.dX∂∂∂fffxxxcos(xx)e1632251

7、∂∂∂xxx456311−五.（10分）已知A=−202，求sin(πA)，eA.4−−11332解：

8、

9、λλEA−=−(2)，A的最小多项式ϕ(λ)=(λ−2).待定系数一：π2π令sinλ=−qa()(λλ2)++bλ，则abb+21==,0,sin(AE)=;44λ222令e=−q()(λλλ2)+ab+，则abebe+2,==.211−eeA=−2E+e2A=e2−212−.−−112待定系数二：π32令sinλ=−qa()(λλ2)++bλλ+c，则4abc++=2412

10、22bc+=40⇒=−a1πππ8,b=8,c=−32;221c=−π62ππ2sin(AE)=−(4EAAE−+=4).432λ32令e=−q()(λλλ2)+abc++λ，则2abce++=2412222bce+=4,⇒=aebece=−,=;222ce=