07级-研-矩阵论试题与答案

《07级-研-矩阵论试题与答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一（20分）设矩阵，（1）求的初等因子组；（2）求的标准形；（3）求可逆矩阵使得；（4）求。答案：（1）观察得，因此，初等因子组为5分（2）10分（3）设，由，得由（1），，解得其中由（2），，解得其中由（3），解得2007其中15分（4），20分二（20分）设微分方程组，其中，（1）求的最小多项式；（2）求；（3）求该方程组的解。答案（1），7分（2）设，10分由，解得13分因此15分（3）解20分三（10分）设是阶Hermite正定矩阵，定义，试证上述函数是向量范数。答案：因为是正定矩阵，故存在可逆矩阵，使得3分则8分所以，由已知结论，是向量范数。10分2007四（10分）判别矩阵级数的收

2、敛性，若收敛，求其和答案：考虑其收敛半径，3分矩阵的半径，7分故（绝对）收敛，10分五（20分）设矛盾方程组，其中（1）求的满秩分解；（2）由上面分解来计算；（3）写出该方程组最小二乘解的通解表达式，并求出极小范数最小二乘解。答案：（1），5分（2）12分（3），任意16分200720分六（10分）利用Gerschgorin圆盘定理证明矩阵（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。答案：（1）互不交，说明有个不同的特征值，从而可对角化5分（2）关于实轴对称，如果有复特征值必成对共轭出现，而中只有一个特征值，所以必为实数。10分七（10分）设，并有QR分解：其中是正交矩阵，是非奇异上三角矩阵

3、。利用2-范数的正交（酉）不变性，即，证明：证：5分7分10分2007