矩阵论(清华)课后答案

《矩阵论(清华)课后答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、习题1.11.解：除了由一个零向量构成的集合{q}可以构成线性空间外，没有两个和有限（m）个向量构成的线性空间，因为数乘不封闭（ka有无限多个，k∈p数域）.2.解：⑴是；⑵不是，因为没有负向量；⑶不是，因为存在两向量的和向量处在第二或第四象限，即加法不封闭；⑷是；⑸不是，因为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭.3.解：⑴不是，因为当k∈Q或R时，数乘ka不封闭；⑵有理域上是；实数域上不是，因为当k∈R时，数乘ka不封闭.⑶是；⑷是；⑸是；⑹不是，因为加法与数乘均不封闭.4.解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘以相应常数组成，显然对解的加法与数乘运算满

2、足二个封闭性和八条公理.5.解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或因无零向量）.6.解：（1）设A的实系数多项式f(A)的全体为{f(A)=aI+aA+aAaÎR,m正整数}01mmi1显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间.（2）与（3）也都是线性空间.7.解：是线性空间.不难验证sint，sin2t，…，sinnt是线性无关的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是V中的一个组基.由高等数学中傅里叶（Fourier）系数知12pc=tsinitdt.iòp08.解：⑴不是，因为公理2')不成立：设r=1,s=2,α=(3,4),

3、则(r+s)(3,4)=(9,4),而r(3,4)Ås(3,4)=(3,4)Å(6,4)=(9,8),所以(r+s)α≠rαÅsα.⑵不是，因为公理1）不成立：设α=(1,2),β=(3,4),则αÅβ=(1,2)Å(3,4)=(1,2),βÅα=(3,4)Å(1,2)=(3,4),所以αÅβ≠βÅα.⑶不是，因为公理2')不成立：设r=1,s=2,α=(3,4),则(r+s)α=3(3,4)=(27,36)而rαÅsα=1(3,4)Å2(3,4)=(3,4)Å(12,16)=(15,20),于是(r+s)α≠rαÅsα.⑷是.9.证若a,bÎV，则2(a

4、+b)=2a+2b=(1+1)a+(1+1)b=(1a+1a)+(1b+1b)=(a+a)+(b+b)=a+()a+b+b22(a+b)=(1+1)(a+b)=(1a+1b)+1(a+b)另一方面，=(a+b)+(a+b)=a+()b+a+b因此a+(a+b)+b=a+(b+a)+b，从而有(-a)+a+(a+b)+b+(-b)=(-a)+a+(b+a)+b+(-b)于是得a+b=b+a.10.解：先求齐次方程组的基础解系ξ=(3,3,2,0)T,ξ=(-3,7,0,4)T,12即为解空间V的一组基.所以，dimV=2.11.解：考察齐次式22k(x+x)+k(x-x)+k(x+1)=

5、0123即2(k+k)x+(k-k+k)x+k=0,121233得线性方程组k+k=012k-k+k=0123k=03由于系数行列式不等于零，那么只有k=k=k=0时,上述齐次式123才对"x成立，所以22x+x,x-x,x+1线性无关，且任二次多项式2ax+bx+c都可惟一地用它们来表示(因为相应的非齐次方程组有惟一解)，故为基.令222x+7x+3=(k+k)x+(k-k+k)x+k121233得k=3,k=-1,k=3,即坐标为(3,-1,3).123312.解：⑴因为(b,b,b,b)=(a,a,a,a)C,12341234故C=(-1a,a,a,a)(b,b,b,b)1234

6、12341000-120562056010013361336==.0010-1121-1121000110131013T⑵显然，向量α在基a1,a2,a3,a4下的坐标为X=(x1,x2,x3,x4),T设α在基b1,b2,b3,b4下的坐标为Y=(h1,h2,h3,h4),则x2056-1x11x1336x-122Y=C=x-1121x33x1013x444111-1-939x141231--x2793272==BX12x00-333x471126--279327⑶如果X=Y,则有X=BX,即得齐次方程组(I-B)X=0,求其非零解为TX=k(－1,－1,－1,1),k∈R,即为所求

7、.13.解：(1)对k=1,2,,n；l=k,k+1,,n令F=(a)，其中klijn´na=1，其余的a=0，则{F}为上三角矩阵空间的一组基，维数为klijkl1n()n+1.2+++（2）R中任意非零元素都可作R的基，dimR=1.2（3）I，A，A为所述线性空间的一组基，其维数为3.414.解：（1）由已知关系式求得ìb1=4a1+8a2+a3-2a4ïïb2=-2a1-4a2+a4íb=a+2aï312ïb=a+2aî423于是，