矩阵论试题_2012硕.pdf

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1、矩阵论(M2012A)一、(18分)填空：⎛100−1⎞⎜⎟⎜−120−1⎟1．矩阵A=的Jordan标准⎜1−1−11⎟⎜⎟⎜⎟⎝1003⎠⎛⎞⎜⎟⎜⎟形为J=。⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛12Ln⎞⎜⎟⎜12Ln⎟2．设m×n矩阵A=，则A=⎜MMM⎟1⎜⎟⎜⎟⎝12Ln⎠(___)；A=(_____)；A=(_____)。F∞3．设⎛sin(2t)00⎞⎜⎟sinAt=⎜tcos(2t)sin(2t)−tcos(2t)tcos(2t)⎟⎜⎟⎝tcos(2t)−tcos(2t)sin(2t)+tcos(2t)⎠⎛⎞⎜⎟则A=⎜⎟。⎜⎟⎝⎠+4．已知Am×n的Moore-Penrose逆为A，则+⎛3

2、A⎞⎜⎟⎛⎞⎜2A⎟=⎜⎟。⎜⎟⎝⎠⎝A⎠5．设A是m阶非零正交投影矩阵，Tnx=,1,1(L)1,∈R，则x⊗A=()。26．设4维线性空间V的一个基为α1,α2,α3,α4，又设V上的线性变换T满足T(α1)=α1−α2+α3+2α4，T(α2)=−α1+α2−α3−2α4T(α3)=−α1−α2−2α3，T(α4)=α1+3α2+3α3−2α4则T的核空间N(T)的维数为()，它的一个基为()。m×n二、(10分)设A=(aij)m×n∈C。1．试利用矩阵范数的定义直接证明下列实值函数m×n是C上的矩阵范数：mA1=max∑aij1≤j≤ni=12．试举例说明该矩阵范数与向量∞-范数不相

3、容。三、(15分)已知⎛12−2⎞⎛1⎞⎛−1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−tA=⎜−1−21⎟，b(t)=e⎜1⎟，x)0(=⎜−2⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝11−2⎠⎝2⎠⎝−3⎠At1．求e；2．用矩阵函数方法求微分方程dx(t)=Ax(t)+b(t)dt满足初始条件x)0(的解。四、(10分)用Householder变换求矩阵⎛0−2−20⎞⎜⎟⎜−12−34⎟A=⎜0216⎟⎜⎟⎜⎟⎝0100⎠的QR分解。五、(10分)用Gerschgorin定理隔离矩阵⎛−i0−11⎞⎜⎟⎜−ii710⎟A=⎜20−20−1⎟⎜⎟⎜⎟⎝90−6−9⎠的特征值(要求画图表示)．⎛−1−1−1⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜120⎟⎜2⎟

4、六、(15分)已知A=⎜102⎟，b=⎜−2⎟。⎜⎟⎜⎟⎜−1−20⎟⎜−2⎟⎜⎟⎜⎟⎝111⎠⎝0⎠+1．求A的满秩分解；2．求A；3．用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4．求线性方程组Ax=b的极小范数解或者极小范数最小二乘解x0。(要求指出x0是哪种解)2×2七、(15分)设欧氏空间R(内积运算是通常的)中的线性变换为2×2⎛01⎞T(X)=DX+XD(任意X∈R，D=⎜⎟)⎝10⎠1．证明T是对称变换；2×22．求R的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵。八、(7分)设T是欧氏空间V的线性变换，S是V的一个变换。又设[T(α),β]=[α,S(β)](任意α,β∈

5、V)其中[T(α),β]表示T(α)与β的内积。证明：1．S是V的线性变换；⊥2．N(T)=R(S)，即T的核空间N(T)是S的值域R(S)的正交补空间。