矩阵论研究生考试题(2012-2013)

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1、南通大学2012—2013学年第一学期矩阵理论及应用研究生试卷（A）第1页共3页试题一二三四总分得分评卷人二.计算题（第1小题14分，2，3，4小题各10分，共44分）1.已知，（1）求；（2）解矩阵微分方程其中。—————————密————————————封——————————线————————学院：专业：年级：班级：学号：本人承诺：在本次考试中，自觉遵守考场规则，诚信考试，绝不作弊。学生签名：装订线内答题无效得分得分评卷人一.填空题（每题4分，共20分）一.填空题（本大题共5小题，每小

2、题4分，共20分）1.是阶方阵，的标准型为，则的最小多项式.2.矩阵的1范数（列和范数）.3.矩阵的谱半径.4.设为给定的常向量，为向量变量，则=.5.将化为与同向的向量的Householder变换对应的Householder矩阵为使用班级研12电子、研12电气出卷日期2012年12月15日南通大学2012—2013学年第一学期矩阵理论及应用研究生试卷（A）第2页共3页—————————密————————————封——————————线————————学院：专业：年级：班级：学号：2.，求

3、3.求矩阵的满秩分解4.，求的特征多项式与最小多项式，并求得分评卷人三.证明题（每题10分，共30分，）1．是阶Hermite矩阵，证明：是正定Hermite矩阵—————————密————————————封——————————线————————学院：专业：年级：班级：学号：南通大学2012—2013学年第一学期矩阵理论及应用研究生试卷（A）第3页共3页2.设为阶方阵,是从属于某种向量范数的矩阵范数,证明:1);2)时，可逆，且.3.为秩为的半正定Hermite矩阵，则存在列满秩矩阵,使得

4、,其中（其中为阶单位矩阵）得分评卷人四.讨论题（6分）在阶复方阵构成的线性空间中，定义，则是的内积，对该内积做成酉空间.2）写出该欧氏空间的柯西—希瓦尔兹不等式；3）对运用柯西—希瓦尔兹不等式，看看能得到什么结果？南通大学2012—2013学年第一学期矩阵理论及应用研究生试卷（B）第1页共3页试题一二三四总分得分评卷人二.计算题（第1小题大14分，2，3，4小题各10分，共44分）1．已知，（1）；（2）求解矩阵微分方程其中.—————————密————————————封——————————线

5、————————学院：专业：年级：班级：学号：本人承诺：在本次考试中，自觉遵守考场规则，诚信考试，绝不作弊。学生签名：装订线内答题无效得分得分评卷人一.填空题（每题4分，共20分）1.阶方阵满足，则的特征值只可能是.2.是阶方阵，的标准型为，则的Jordan标准形为.2.将化为与同向的向量用的Givens变换对应的Givens矩阵为3.矩阵，收敛，则的取值范围为4.设，则=5.设矩阵的Crout分解为,则的LDR分解为；Doolittle分解为.使用班级研12电子、研12电气出卷日期2012年12

6、月15日南通大学2012—2013学年第一学期矩阵理论及应用研究生试卷（B）第2页共3页学院：专业：年级：班级：学号：2.求矩阵的标准形3.求矩阵的满秩分解4.，求的奇异值分解.得分评卷人三.证明题（每题10分，共30分）1.设Hermite矩阵是正定的，证明关于行列式的不等式：.学院：专业：年级：班级：学号：—————————密————————————封——————————线————————南通大学2012—2013学年第一学期矩阵理论及应用研究生试卷（B）第3页共3页2.设是正定Her

7、mite矩阵，利用矩阵的分解证明：存在一个上三角形矩阵,使得，3.设是n阶可逆矩阵的特征值，是的任意一种范数证明：(1);(2)得分评卷人四.讨论题（6分）设矩阵，讨论的可能的Jordan标准形.