研究生矩阵论自测题答案.pdf

《研究生矩阵论自测题答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、自测题一一、解：因为齐次方程xxx0的基础解系为111221TTT(1,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1)，123111000所以V的一组基为A，A，A，显然A1，123001001a11a12A2，A3线性无关.AV，有aaa，于是有111221aa2122AaAaAaA，121212223即A可由A1，A2，A3线性表示，故A1，A2，A3为V的一组基；且dimV=3.二、解：（1）X.XV,R，有121111

2、11(XX)(XX）XX121212222222=(X)(X),121111(X)XX(X).11112222又因任意两个二阶方阵的乘积、和仍为二阶方阵，故VV，即为从V到V（自身）的线性算子，所以为线性变换.（2）先求的自然基E,E,E,E下的矩阵A：11122122111010(E)E0E2E0E1111122122220020(E)0EE0E2E1211122122(E)E0E2E0E21111

3、22122(E)0EE0E2E2211122122110100101故A.20200202显然,从自然基到所给基E,E,E,E的过渡过阵为12341111110001110110C；C1,0011001100010001所以在E,E,E,E下的矩阵为123410102132BC1AC.20200204三、解：（1）不是内积.因为A,Atr(AA)2tr(A)2(aa)1122并不一定大于零.1t（2）因为

4、(f,g)tedt1,0111f(f,f)(t2dt)2,03212t1e11g(g,g)(edt)2()2,02(f,g)fg,21e11即1()2.322四、解：（1）IA(1)(2)，1,2.1232行列式因子：2D(1)(2),D1,D1;321不变因子：2d()d()1,d()(1)(2);123初等因子：2(1),(2).1J1（2）A~J21;J22（3）对T1,(IA)X0得(0,

5、1,1);111T2,(2IA)X0得(1,0,1).222再求2的一个广义特征向量：2T由(2IA)XX得(1,1,1).3230111111取P101,P011,111111令f(A)SinA,则:sin2cos2fJ()f()sin1,fJ(),111220sin21故sinAPdiag(f[J()],f[J()])P1122011sin1111101sin2cos2011

6、111sin2111cos2sin2cos2cos2sin2sin1sin2sin1sin1sin2.sin2cos2sin1cos2sin1sin1cos231431414五、解：（1）Amaxaijmax,,1，ij13083030k故limA0；k3k（2）x的收敛半径为1，而A1若在其收敛域内，故k0kk1A绝对收敛，且A(IA).k0k0六、解：（1）A5,A15,A5,A6；又因为1m1m322

7、1117A232，A.5522317所以cond(A)AA57；52IA(5)(1),5,1.123故(A)lim5.ii12（2）因为10,30，故可分解.12211（3）B,B,B均可取B.r七、证：设TTX(x,x,,x),Y(y,y,,y)分别为在两组12n12n基下的坐标，则XCY，当XY时有：(IC)X，则IC0，故C有特征值1.反之，由于1是过渡过阵C的一个特征值，设其对应的特征向量为X，即CX1X，

8、由坐标变换公式知，在基，，,下12n的坐标YCX，故有YX.八、证：A对称正定，存在正交矩阵C，使TCACdiag(,,,)