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《研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题一1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间：（1）设A是n阶实数矩阵.A的实系数多项式f()A的全体，对于矩阵的加法和数乘；（2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法；（3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法⊕和数乘o运算：k(k−1)2(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d+ac),ko(a,b)=(ka,kb+a)2+（4）设R是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算：ka⊕=babka,o=a+其中abRkR,,∈∈；（5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘；（6）设Vx
2、==+{xctctsinsin2++Lcksin,tcRt∈≤,0≤2π}，V中12ki元素对于通常的加法与数乘，并证明：{sin,sin2,ttkL,sint}是V的一个基，试确定c的方法.i解（1）是.令V={}f(A)f(x)是实系数多项式，A为n×n矩阵.由矩阵的加法和数乘运1算知,f(A)+g(A)=h(A),kf(A)=d(A),其中k为实数，f(x),h(x),d(x)是实系数多项式.V中含有A的零多项式，为V的11零元素.f(A)有负元−f(A)∈V.由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故V关11于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间.（2）否
3、.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭.（3）是.封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.任取该集合中的三个元素，设为α=(a,b),β=(c,d),γ=(f,g),以及任意实数k,l,则有①α⊕β=(a+c,b+d+ac)=β+α;②(α⊕β)⊕γ=(a+c,b+d+ac)⊕γ=((a+c)+f,(b+d+ac)+g+(a+c)f)=(a+(c+f),b+(d+g+cf)+a(c+f))=α⊕(c+f,d+f+cf)=α⊕(β⊕γ);③存在(0,0),使得(a,b)⊕(0,0
4、)=(a+0,b+0+a0)=(a,b),即(0,0)为零元;2④存在(−a,a−b),使得22(a,b)⊕(−a,a−b)=(a−a,b+(a−b)+a(−a))=(0,0),2即(−a,a−b)是(a,b)的负元;1(1−1)2⑤1o(a,b)=(1a,1b+a)=(a,b)2l(l−1)2⑥ko(loα)=ko(lo(a,b))=ko(la,lb+a)2l(l−1)2k(k−1)2=(k(la),k(lb+a)+(la))22kl(kl−1)2=(kla,(kl)b+a)=(kl)o(a,b)=(kl)oα;2(k+l)((k+l)−1)2⑦(k+l)oα=
5、(k+l)o(a,b)=((k+l)a,(k+l)b+a)2k(k−1)2l(l−1)2=(ka+la,(kb+a)+(lb+a)+(ka)(la))22k(k−1)2l(l−1)2=(ka,kb+a)⊕(la,lb+a)22=ko(a,b)+lo(a,b)=koα++loα;⑧ko(α⊕β)=ko(a+c,b+d+ac)k(k−1)2=(k(a+b),k(b+d+ac)+(a+c))2k(k−1)2k(k−1)2=(ka+kb,(kb+a)+(kd+c)+(ka)(kc))22k(k−1)2k(k−1)2=(ka,kb+a)⊕(kc,kd+c)22=(koα)⊕
6、(koβ).+++（4）是.对任意a，b∈R，有a⊕b=ab∈R；又对任意k∈R和a∈R，k++有koa=a∈R，即R对所定义的加法与数乘运算封闭。+下面来检验R对于这两种运算满足线性空间的八条运算律：①a⊕b=ab=ba=b⊕a②(a⊕b)⊕c=(ab)⊕c=(ab)c=a(bc)=a⊕(b⊕c)③1是零元素：a⊕1=a⋅1=a−1−1−1④a的负元素是a：a⊕a=aa=11⑤1oa=a=allklk⑥ko(loa)=koa=(a)=a=(lk)oak+lklkl⑦(k+l)oa=a=aa=a⊕a=(koa)⊕(loa)kkk⑧ko(a⊕b)=ko(ab)=(a
7、b)=ab=(koa)⊕(kob)+所以R对这两种运算构成实数域R上的线性空间.（5）否.设V={y(x)y′′+ay′+ay=f(x),f(x)≠0}，则该集合对函数的210加法和数乘均不封闭.例如对任意的y,y∈V,y+y∉V.故不构成线性空间.122122（6）是.集合V对函数的加法和数乘显然封闭.零函数是V的零元素；对任意的x=csint+csin2t+L+csinkt，−x=−csint−csin2t−L−csinkt12k12k是其负元素.由于函数的加法与数乘运算满足线性空间要求的其它各条，故集合V关于函数的加法与数乘构成实数域上的线性空间.为证明函数
8、组sin,
