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《研究生矩阵论课后习题答案全习题三》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题三1．证明下列问题：（1）若矩阵序列收敛于，则收敛于，收敛于；（2）若方阵级数收敛，则.证明：（1）设矩阵则设则，若矩阵序列收敛于，即对任意的，有，则，，，故收敛于，收敛于.(2)设方阵级数的部分和序列为，其中.若收敛，设其和为，即，或，则.而级数的部分和即为，故级数收敛，且其和为，即.2.已知方阵序列收敛于，且，都存在，证明：（1）；（2）.证明：设矩阵若矩阵序列收敛于，即对任意的，有.(1)由于对任意的，有，故＝，而，,故.(1)因为，.其中，分别为矩阵与的代数余子式.与（1）类似可证明对任意的，有，
2、结合，有＝，即.3.设函数矩阵，其中，计算.解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有（1）；（2）；（3）；（4）（5）＝.4．设函数矩阵，计算和.解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有（1）＝；（2）＝＝.5.设为阶常数对称矩阵，，证明：（1）；（2）.证明：（1），（2）.6.证明关于迹的下列公式：（1）；（2）；（3）.其中.证明：（1）因为，而，故（2）因为，则，而，故.(1)因为故则故.7．证明：，其中为向量函数.证明：设，则，故它是的数量函数，设，有.8.在中将向量表示
3、成平面直角坐标系中的点，分别画出下列不等式决定的向量全体所对应的几何图形：(1)(2)(3).解：根据，作图如下：9.证明对任何，总有.证明：因为故10.证明：对任意的，有.证明：设，则由于，故，即.11.设是正实数，证明：对任意，是中的向量范数.证明：因为（1）且；（2）；（3）对于，，则故.因此是中的向量范数.12.证明：是矩阵的范数，并且与向量的1－范数是相容的.证明:因为(1),且;(2);(3)(4)设,则，故因此是与向量的1－范数相容的矩阵范数.13.设，且可逆，证明：.证明:由于,,则,故.14
4、.设，且证明：可逆，而且有（1）；（2）.证明:(1)由于,故,即.(2)因为,两边右乘,可得,左乘,整理得,则，即.15.设证明：（1），特别地;（2）当时，；（3）；（4）当时，.证明:(1).又因为,故.(2)当时,二项式公式成立，故同理，有,故.(3)由于幂级数对给定的矩阵,以及任意的都是绝对收敛的,且对任意的都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则,同理，有故.(1)因为故.又当时，,则同理，可得16.求下列三类矩阵的矩阵函数（1）当为幂等矩阵()时；（2）当为对合矩阵()时；（3）当为幂零矩
5、阵()时.解:(1),设矩阵的秩为,则的特征值为1或0,可对角化为,则，(2)当时，矩阵也可对角化,的特征值为1或,可对角化为,其中1有个.则(3)当时,的特征值均为0,则存在可逆矩阵,使得,其中,又,则,于是故Jordan块的阶数最多为2,不妨设,,即则,;,.故0,,则,,因此,,所以,,.17.若矩阵的特征值的实部全为负，则.证明:设的特征值为,则存在可逆矩阵,使得,其中,则,其中又,且,故，因此,则.18．计算和，其中：（1）；（2）；（3）.解:(1)设,则.由于,,且,,则,.(2)该矩阵的特征多
6、项式为最小多项式为.19.计算下列矩阵函数：（1），求；（2），求；（3），求；（4），求及20．证明:，，其中为任意方阵.证明:(1)因为,,故,,则.(2)因为矩阵的特征值均为,故存在可逆矩阵,使得则21.若为反实对称（反Hermite）矩阵，则为实正交（酉）矩阵.证明:因为,又.故.当为反实对称,即时,,故为实正交矩阵;当为反Hermite矩阵,即时,,故为酉矩阵.22.若为Hermite矩阵，则是酉矩阵，并说明当时此结论的意义.证明:因为,故,则,故是酉矩阵.当为一阶Hermite矩阵时,为一实数,设
7、,则上述命题为23.将下列矩阵函数表示成矩阵幂级数，并说明对的限制：（1），（2），（3）解：(1),;(2),;(3),.24．设，证明：（1），（2）.证明:(1)设,其中为若当标准形，则,其中,则.(2)设，则，因为，对上式两边取极限，得.25．设，且可逆，若是的任一特征值，则.证明:因为,故.又对任意的,有,所以.设是矩阵的特征值对应的特征向量,即,则,故有.因此.
