研究生矩阵论3.1

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1、3.1广义逆矩阵定义设矩阵ACmn，若矩阵XCnm满足如下四个Moore-Penrose方程AXAA（i）XAXX（ii）H(AX)AX(iii)HXAXA(iv)的某几个或全部，则称X为A的广义逆矩阵；满足全部四个方程的广义逆矩阵X称为A的Penrose逆,记为A+.定义对任意ACmn，若XCnm满足Moore-Penrose方程中的(i),(j),(k),(l)等方程，则称X为A的{i,j,,l}-逆，记为A(i,j,,l)，其全体记为A{i,j,,l}定理对任意ACmn,A+存在且唯一.证存在性.设rankA=r，A进行奇异值分解S0r

2、HAUV00其中0(i1,,r)是A的奇异值，U和V分别i是m阶和n阶酉矩阵.取101HXVU1r0Onm可以验证X满足四个Penrose方程.可见，A+总是存在的.唯一性.设X,Y均满足方程（i）-（iv）,则HHHHXXAXXAYAXX(AY)(AX)XY(AXA)HHHX(AY)XAYXAYAY(XA)(YA)YHHHAYY(YA)YY证毕二.广义逆矩阵的性质及构造方法定理矩阵ACnn有唯一{1}-逆A为非奇异矩阵，且这个{1}-逆与A-1一致.证必要性.假设rankA

3、)，将XA{1}按列分块为xx1,,n把x加到X的任意一列得Yx,,xx,,x1im显然,YX且YA{1}，所以矛盾，因而rankAn充分性.对于AXA=A，由于A可逆，所以X=A-1，因而A的{1}-逆唯一.证毕10定义00mnnp定理设AC,BC,C,则(1)HH（1）(A)A1;(1)（2）AA1;（3）若S和T非奇异，则1(1)1TAS(SAT)1（4）(1)rankArankA（5）AA(1)和A(1)A均为幂等矩阵且与A同秩.(1)(1)（6）R(AA)R(A),N(AA)N

4、(A),(1)HHRAAR(A);(1)（7）AAIrankAn,n(1)AAIrankAm;m(1)（8）ABABAArankABrankA,(1)BABABBrankABrankB;证（6）因为(1)(1)R(A)R(AA)R(AAA)R(A)所以(1)R(AA)R(A)(1)(1)因为N(A)N(AA)N(AAA)N(A)(1)所以N(AA)N(A)因为HH(1)HH(1)HHHR(A)RAARAAAR(A)所以RA(1)AHR(AH)（7）充分性.因为rankA=n,所以(1)(1)

5、A可逆.rankAAn,即A(1)2(1)(1)又AAAA所以AAIn(1)(1)必要性.由AA=In知rankAAn,从而rankAn（8）充分性.因为R(AB)R(A),rank(AB)rankA,所以R(AB)R(A),因为(1)R((AB)(AB))R(AB)R(A)(1)故(AB)(AB)AA必要性.显然.另一式类似.证毕定理设矩阵Y,ZA{1}，又设X=YAZ,则XA{1,2}.定理已知矩阵A和XA{1}，则XA{1,2}rankX=rankA.证必要性?充分性.因为R(XA)R(X),又rankX=rankA,所以rank(XA

6、)=rankX因而R(XA)=R(X),即存在Y使得X=XAY从而XAX=XA(XAY)=XAY=X证毕引理对任意矩阵A均有HHrankAArankArank(AA)证由Ax=0可得AHAx=0;而由AHAx=0可得XHAHAX=0所以Ax=0因而Ax=0与AHAx=0有同解,故rank(AHA)=rankA证毕定理设矩阵A给定，则H(1)HY(AA)AA1,2,3HH(1)ZA(AA)A1,2,4证因为R(AHA)R(AH)及rank(AHA)=rankAH,所以R(AHA)=R(AH)因而存在U使得AH=AHAU,则有A=UHAHA从而AYA=UHAHA

7、(AHA)(1)AHA=UHAHA=A即YA{1},则有rankYrankAH而由Y的定义rankYrankArankA因而rankY=rankA所以YA{1.2}又HHH(1)HAYUAA(AA)AHHH(1)HHHUAA(AA)AAUUAAU所以AY=(AY)H,即YA1,2,3.另一式可类似地证明.证毕定理设矩阵A给定，则（1）rankA+=rankA（2）(A+)+=A（3）(AH)+=(A+)H,(AT)+=(A+)T（4）