研究生矩阵论第1讲 线性空间

《研究生矩阵论第1讲 线性空间》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其应用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》与工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆)以及第一类初等变换(非正交的)、对角标准形(含二次型)以及阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二与第

2、三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数与条件数、广义逆与分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵与特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论与线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲线性空间内容：1.线性空间的概念；2.基变换与坐标变换；3.子空间与维数定理；4.线性空间的同构线性空间与线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某

3、类客观事物从量的方面的一个抽象．§1线性空间的概念1.群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A中的任意元素a与集B中的任意元素b，按某一法则与集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A、B的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1设是一个非空集合，在集合的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对中给定的一个法则，对于中任意元素，在中都有惟一的一个元与他们对应，称为的和，记为．若在“+”下，满足下列四个条件，则称为一个群．1）在“+”下是封闭的．即，若

4、有；2)在“+”下是可结合的．即，，；3）在中有一个元，若有；e称为单位元；4）对于有．称为的逆元．注：对任意元素，都有，则称为交换群或阿贝尔群．1.2环定义1.2设是一个非空集合，在集合的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”与“”．即，对中给定的一个法则，对于中任意元素,，在中都有惟一的一个元与他们对应，称为,的和与积，记为（）．满足下列三个条件，则称为一个环．1）在“+”下是阿贝尔群；2)在“”下是可结合的．即，；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于中任意元素，，，有，．注：对任意元素，都有，则称为交换环．1.3域定义1.3设满足环的条件，且在对“加法”群

5、中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域、实数域、复数域．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如，不难验证，对实数四则运算封闭的，所以也是一个数域.而整数集合就不是数域.数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1．2.线性空间定义1.4设是一个非空集合，是一个数域．在集合的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于中任意元素，在中都有惟一的一个元与他们对应，称为的和，记为．在

6、数域与集合的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“”：即，对于数域中任一数和中任一元，在中都有惟一的一个元与它们对应，称为与的数乘，记为．如果加法与数乘这两种运算在中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴交换律；⑵结合律，；⑶，有，（0称为零元素）；⑷，有，（称为的负元素，记为）；⑸，有；⑹，；⑺；⑻，则称集合为数域上的线性空间.当数域为实数域时，就称为实线性空间；为复数域，就称为复线性空间．例1.按通常向量的加法与数乘运算，由全体实维向量组成的集合，在实数域上构成一个实线性空间，记为；由全体复维向量组成的集合，在复数域上构成—个复线性空间，记为．例2.按照矩阵的加法及

7、数与矩阵的乘法，由数域上的元素构成的全体矩阵所成的集合，在数域上构成一个线性空间，记为．而其中秩为的全体矩阵所成的集合则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间．例4.设＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为,。证明：是实数域R上的线性空间．证：首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性。唯一性和封闭性．唯一性显然，若，则有：，，封闭性得证．其次，八条性质。（1）