函数的积分学及其应用(I)

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1、第一章一元函数的积分学及其应用第一节一元函数的积分第二节积分的应用第一节一元函数的积分一、不定积分二、定积分三、广义积分一、不定积分1.不定积分的概念和性质定义1设函数f与F在区间I上有定义，若则称F为f在区间I上的一个原函数问题：（1）什么条件下，一个函数的原函数存在？(2)如果f(x)有原函数，一共有多少个？(3)任意两个原函数之间有什么关系？1)原函数与不定积分的概念任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量①②定理1（原函数存在定理）如果函数f（x）在某个区间上连续，那么f（x）在该区间上一定存在原函数.简单理解：连续函数一定有原函数定理2如果函数F（x）是函数f（x

2、）的一个原函数，则F（x）+C（C为任意数）是f（x）的全部原函数.如果F（x）是f（x）的一个原函数，则F（x）所对应的曲线称为函数f（x）的一条积分曲线，将这条积分曲线沿轴方向上下任意平行移动，就得到F（x）+C，即为积分曲线族．在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线，这些切线都是相互平行的．f（x）的不定积分的几何意义就表示相互平行的积分曲线族．这些积分曲线在横坐标相同的点x处的切线相互平行2)不定积分的几何意义性质1设函数及的原函数存在，则性质2设函数的原函数存在，为非零常数，则性质3性质43)不定积分的性质2.不定积分直接积分法不定积分的基本公式利用不定积分的

3、运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。关键在于对被积函数进行恒等变形直接积分法3.不定积分的换元积分法说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.1)第一类换元积分法（凑微分法）（凑微分）2)第二类换元积分法（变量代换法）例1求解令例2求解令说明以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令常用的基本公式表4.不定积分的分部积分法问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式例2求积分解注意循环形式5.简单有理函数的积分法两个多项式的商表示的函数称为有理函数.其中都是非负整数；及都是实数，并且

4、.假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.1)简单分式的积分法2)化有理真分式为简单分式3)有理函数的积分法二、定积分1.定积分的概念和性质曲边梯形设函数yf(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.1）定积分问题举例观察与思考在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积？求曲边梯形的面积(1)分割:ax0

5、xn1

6、体在时间段[T1,T2]内所经过的路程近似为(3)求和:(4)取极限:记max{Dt1,Dt2,,Dtn},物体所经过的路程为在小区间[xi1,xi]上任取一点xi(i1,2,,n),作和max{Dx1,Dx2,,Dxn};记Dxi=xi-xi1(i1,2,,n),ax0

7、积分各部分的名称————积分符号,f(x)———被积函数,f(x)dx——被积表达式,x————积分变量,a————积分下限,b————积分上限,[a,b]———积分区间，———积分和.函数的可积性如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在,则称f(x)在区间[a,b]上可积.定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定积分的定义3)一般地,f(x)在[a,b]上的