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1、第5章多元函数积分学及其应用5.1二重积分5.1.1二重积分的概念1.引例设一立体,它的底是xOy面上的有界闭区域,侧面是以的边界曲线为准线,母线平行于轴的柱面,顶是二元非连续函数所表示的曲面,称该立体为曲顶柱体.求这一曲顶柱体的体积.考虑如何求曲顶柱体的体积V的问题,如果曲顶柱体的高度不变,即为平顶柱体时,它的体积=底面积×高,但曲面柱体的顶是曲面,即当点(x,y)在上变动时,其高度是连续变化的,因此不能直接用上述方法求其体积.下面,我们采用与计算曲边梯形的面积相类似的方法来处理这个问题.第一步:由若干条曲线将闭区域作任意的分割,分成个小的
2、闭区域,记为，它们既表示小区域,也表示小区域的面积,如图5-1所示,以每个小区域的边界线为准线作母线平行于轴的柱面,它们将大曲顶住体分割成个小曲顶柱体.图51第二步:在每个小区域上任取一点，以作为小曲顶柱体的高,其体积近似为第三步这些小体积近似值的累加等于大曲顶柱体体积的近似值,即V=第四步:令λ表示个小区域直径的最大值区域的直径（是指区域内任一两点间距离的最大值),当λ→0时,有从上例中抛开它的实际含义抽象出解决问题的思想方法得到如下二重积分的概念.2.二重积分的概念定义5-1设二元函数是定义在有界闭区域上的有界函数,将任一分割成个小区域,
3、也表示该小闭区域的面积,在每个小闭区域上任取一点，作乘积,将这些乘积取和,令n个小闭区域直径的最大值λ→0,如果极限存在,则称此极限为函数在闭区域D上的二重积分,记作，即=其中,称为被积函数,称为面积元素,称为积分变量,称为积分区域.二重积分存在的充分条件:若在积分区域上连续,则二重积分一定存在.这时,我们也称在积分区域上可积.例如,曲顶柱体的体积为.3.二重积分的几何意义如果，则二重积分就是以所确定的曲面为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积,若，柱体就是在面的下方，二重积分的绝对值仍表示柱体的体积.5.1.2二重积分的性质二重积分也有与定积分相类
4、似的性质,现叙述如下(假设性质中所有二重积分都存在).性质5-1设为常数,则.性质5-2若积分区域被有限条曲线划分为若干区域，如被分为和,则=+称这条性质为二重积分对于积分区域具有可加性.性质5-3若在积分区域上,,是的面积,则=性质5-4(比较性质)若在积分区域上,,则推论5-1：性质5-5(估值性质)若在上有最大值为M,最小值为,则(为的面积).性质5-6(二重积分中值定理)若在有界闭区域上连续,则在上至少存在一点，使得=(σ为D的面积)例5-1比较二重积分与的大小,其中由圆围成.解，直线是圆周在点处的切线，如图5-2所示，显然，对于任何
5、点，都有，从而有，于是由性质5-4,得.例5-2估计二重积分的值,其中解如图5-3所示,在上,,所以从而的面积σ=1,于是,即.5.2二重积分的计算5.2.1直角坐标系下二重积分的计算1.积分区域的分类在直角坐标系下,二重积分的计算取决于,具体地,的类型分成三种,即型区域,型区域,杂合性区域.(1)型区域如图5-4所示的称为型区域,可表示为D:.图55例5-3直线及轴所围成的区域,它就是型区域,可表示为:，如图5-5所示.(2)型区域如图5-6所示的,称之为型区域,:.例5-4，抛物线,直线及轴所围成的区域就是型区域,D:如图5-6所示.图5
6、6(3)杂合型区域所谓杂合型,就是通过分割,将分成若干个型区域和型区域就是杂合型.例5-5曲线,,直线及轴所围成的区域就是杂合型,如图5-7所示.,以上就是的三种类型,而各种类型是可以相互转化的,例如,例5-3中的也可以表示为y型,即,例5-4中也可以表示为杂合型区域,,而D=D1∪D2.一般而言,各类型的转化,首先必须画出的形状,以此图为依据,表示成型和型或杂合型.2.化二重积分为二次积分二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积,依此,可利用定积分来计算二重积分.设D为x型区域,即D:,在x轴上取一点,过点,作垂直于轴的平面,截曲顶柱体得一曲边梯
7、形,如图5-8阴影部分所示,显然,该曲边梯形的两条平行直线分别是和,曲边就是,因此,该曲边梯形的面积的函数,而.再根据已知平行截面面积求体积的定积分应用,恰好是平行截面的截面积,因此,该曲顶柱面的体积是：，所以=显然,此处进行了二次定积分,故称此为二次定积分,以上的二次积分,是先后的二次积分,即二次积分是有序的,为了书写方便,先后的二次积分也可表示为:=例5-6计算二重积分,其中为.解积分区域为型,故可以写成==同样的道理,y型区域可化成先后的二次积分,而杂合型区域必须分成若干个型或型区域来计算.例5-7计算二重积分，其中D:.解原式===例
8、5-8将化为二次积分,其中:.解将分成三个区域,如图5-9所示：所以,原式=++3.改变积分次序改变积分次序就是将二次积分的次序交换.由积分区城的类型决定积分次序,
