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《多元函数积分学及其应用（数一）（可编辑）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、版权所有:北京万学教育科技有限公司第十章多元函数积分学及其应用数一第一节三重积分知识点详解一、概念及性质n1.定义:fx,y,zdVlimf?,vk,kkkd?0k?12.性质:与二重积分类似二、计算1.直角坐标:dVdxdydzbyxzx,y221先一后二fx,y,zdVdxdyfx,y,zdzayxzx,y11d2先二后一fx,y,zdVdzfx,y,zdxdy?cDz当fx,y,z在D上的积分容易计算的时候一般选择先二后一,比如fx,y,zzddgz,且D的面积容易计算,则其中Sz为D的面积fx,y,zdVd
2、zfx,y,zdxdySzdz,zzccDz2.柱坐标:dVrdrddz海文考研官网:////0>.咨询电话:400-676-9000总部地址:北京市海淀区北四环西路66号中国技术交易大厦版权所有:北京万学教育科技有限公司rzr,22fx,y,zdVfrcos?,rsin?,zrdrddzdrdrfrcos?,rsin?,zdz?rzr,11?当?为除球外的旋转体时一般用柱坐标计算三重积分23.球坐标:dVrsin?drd?d?r,2222fx,y,zdVfrsincos?,rsinsin?,rcos?rsindr
3、dd?dsindfrsincos?,rsinsin?,rcos?rdrr,11?当?为球体或者球面与锥面所围时,用球坐标4.简化运算1利用奇偶性若积分域?关于xoy坐标面对称,fx,y,z关于z有奇偶性,则2fx,y,zdV,fx,y,zfx,y,z,D?z?0fx,y,zdV0,fx,y,z?fx,y,z2利用轮换对称性若?关于x,y,z具有轮换对称性,则fx,y,zdVfy,z,xdVfz,x,ydV1fx,y,zfy,z,xfz,x,ydV?3海文考研官网:////.咨询电话:400-676-9000总部地址
4、:北京市海淀区北四环西路66号中国技术交易大厦版权所有:北京万学教育科技有限公司典型例题及方【题型一】三重积分的计算22222222【例1】设空间区域:xyzR,z0:xyzR,x0,y0,12z0.则下述等式成立的是()ABxdV4xdVydV4ydV1212CzdV4xdVDxyzdV4xyzdV1212【分析】已知积分区域有对称性,而选项有倍数关系,应该是利用奇偶性,对称性化简1【解析】由,的关系可看出被积函数关于x和是偶函数,再利用轮换对称性,应选Cy122y2z,222【例2】计算IxyzdV,其中?是由
5、曲线绕z轴旋转一周而成的旋转面与平面z4所围成的立体x0,?222【分析】由于积分区域是旋转体,所以可以考虑用柱坐标计算.本题也可以把积分分成xy和z上的积分,然后使用先二后一法222222【解析】IxyzdVxydVzdV2r222422drdrrdzdzdxdy?000022xy?2z222【例3】计算Ifx,y,zdV,其中?为球域xyz?1,被积函数海文考研官网:////.咨询电话:400-676-9000总部地址:北京市海淀区北四环西路66号中国技术交易大厦版权所有:北京万学教育科技有限公司220,zxy
6、?2222fx,y,zxy,0zxy222xyz,z0?【分析】分段函数的三重积分,分区域积分22222【解析】Ifx,y,zdV0dVxydVxyzdV123212?122222?ddrsin?rsindrddrrsindr?000024512816【题型二】三重积分更换积分次序方法提示:1.由累次积分的上、下限给出积分域所满足的不等式组2.画出积分区域的草图3.给出新的累次积分的上、下限1xysinz【例4】计算Idxdydz?20001zsinz【分析】由于本题被积函数对z的积分算不出来,故要交换积分次序,三
7、重积分交换积分次序可以像二重积分一样,先把累次积分转换成三重积分,21z再交换积分次序,但是有的时候,图形不太容易画出来.另外一个方法是采用二重积分交换积分次序,先两个积分结合,看成二重积分的累次积分,交换积分次序【解析】先交换y和z的次序,则海文考研官网:////.咨询电话:400-676-9000总部地址:北京市海淀区北四环西路66号中国技术交易大厦版权所有:北京万学教育科技有限公司1xx1xsinzxzsinzIdxdzdydxdz2?200z001z1z111xzsinz11dzdxsinzdz1cos12
8、0z01z22第二节曲线积分知识点详解课程导入:重要性,如何学,考题特点一、对弧长的曲线积分第一类曲线积分一、概念和性质n1.定义:fx,ydslimf,s.iiiL?0i?12.性质(与定积分类似):1设LLL,则fx,ydsfx,ydsfx,yds12LLL122[fx,y?gx,y]ds?fx,yds?gx,yds,?,为常数LLL3fx,y1,则fx
