函数积分学及其应用

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1、第三章一元函数积分学及其应用13.1定积分的概念、性质、可积准则13.1.1定积分问题举例13.1.2定积分的概念33.1.3定积分的几何意义43.1.4可积准则53.1.5定积分的性质73.2微积分基本定理103.2.1牛顿－莱布尼兹公式103.2.2原函数存在定理123.3不定积分163.3.1不定积分的概念及性质163.3.3基本积分公式173.3.3积分法则183.4定积分的计算303.4.1定积分的换元法303.4.2定积分的分部积分法343.5定积分应用举例353.5.1总量的可加性与微元法353.5.2几何应用举例

2、363.5.3物理、力学应用举例453.5.4函数的平均值493.6反常积分503.6.1无穷区间上的反常积分503.6.2无界函数的反常积分533.6.3反常积分的审敛法函数55习题课四59习题课563第三章一元函数积分学及其应用3.1定积分的概念、性质、可积准则3.1.1定积分问题举例1.曲边梯形的面积设在区间上非负、连续。由直线及曲线所围成的图形（如图3-1）称为曲边梯形，其中曲线称为曲边。图3－1我们将划分成为许多小区间，在每个小区间上任取一点以函数在该点的函数值作为这个小区间上的窄曲边梯形的变高，则每个小窄曲边梯形的可

3、近似地看成小窄矩形。从而将这些小窄矩形的面积之和作为曲边梯形的面积的近似值，并把区间无限细分下去，即使每个小区间的长度趋于零，这时所以窄矩形面积之和的极限就可以定义为曲边梯形的面积。这个定义同时也给出了计算曲边梯形面积的方法，想详述于下：（1）划分：在区间中任意插入若干个个分点把区间分成n个小区间，它们的长度为，经过每一个分点处作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形。（2）取点：在每个小区间上任取一点，以为底、为高的窄矩形近似替代窄曲边梯形。（3）求和：把这样得到的n个窄曲边梯形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值

4、，即（4）求极限：记，则上述条件可表示为。当时，取上述和式的极限便得曲边梯形的面积类似地我们可以得到变速直线运动的路程3.1.2定积分的概念抛去上面两个例题的物理意义，给出它们在本质上的性质，为此引入以下定义。定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点，把区间分成n个小区间，各个小区间的长度依次为，在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积并作出和（1）记，如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即，（2）其中叫做被积函数，

5、叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。和通常称为的积分和。如果在上的定积分存在，我们就说在上可积。在定积分的定义中假定了，但在实际应用和理论分析中会遇到积分上限小于下限或上、下限相等的情况，为此，将定积分的定义扩充如下：（1）当时，规定＝－。（2）当时，规定＝0；由定积分的定义，前面两个例题可以表示为，。对于定积分的理解，应注意以下几点：（1）定积分表示的是一个数，其值取决于积分区间和被积函数，而与积分变量的几号无关，因此在定积分存在的条件下，如果不改变被积函数，也不改变积分区间，而只把积分变量

6、改成其他字母，例如获，那么，这时和的极限不变，从而定积分值不变，即。（2）在定积分定义中大家要注意两点，即积分区间的划分是任意的，在区间上取点是任意的。即如果定积分存在，则定积分的值与区间的划分无关，与区间上的取点无关。换言之，如果由于划分的不同或取点的不同而导致积分和式的极限不同或极限不存在，则在[a,b]上一定不可积。例如狄利克雷函数当点选择为有理数时，其积分和为，若选择无理数其积分和为0，由此可见积分和在时无极限，从而在[a,b]不可积。3.1.3定积分的几何意义在上时，我们已经知道，定积分在几何上表示由曲线、两条直线与轴

7、所围成的曲边梯形的面积：在上时，由曲线、两条直线与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上即取得正值又取得负值时，函数的图形某些部分在轴的上方，而其他部分在轴的下方（图3－2），此时定积分表示轴上方图形面积减去轴下方图形面积所得之差。图3－2例1已知函数在[a,b]上满足，试从定积分的几何意义，比较下述三个数的大小：，，解由题设可知，非负函数在[a,b]上单调减少且向下凸，其图形如图3－3所示。由定积分的几何意义知，是曲边梯形的面积，是矩形的面积，是梯形的面积，故。图3－33.1.4可积准则

8、了解了定积分的概念后，我们自然要问，什么样的函数可积，对于可积函数如何计算它的定积分。定理（可积的必要条件）若函数在[a,b]上必有界。证明设在[a,b]上可积。若在[a,b]无界，则对于任意给定的，任意给定的分划：至少在其中的一个子区间上无界。在（i=1,2,