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时间:2019-10-16
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1、第五章一元函数积分学及其应用数学家——柯西第一节不定积分第二节定积分第三节定积分应用柯西(1789~1857)1805年柯西进入综合工艺学院(EcolePolytechnique),1807年毕业后,进入一所工程学院EcoledesPontsetChausse深造。在投入拿破仑军队,从事运河或港口工程等烦冗事务的同时,柯西(1789~1857)法国数学家,生卒于巴黎。在分析学与数学物理卓有贡献,也是微积分严格化的第一人。柯西努力研读Laplace的《天体力学》与Lagrange的《函数理论》,1815年之前,柯西
2、想在学术圈谋取教职的心愿一直不顺遂。柯西关于微积分基础的最具代表性的著作是他的《分析教程(1821)、《无穷小计算教程》(1823)、以及《微分计算教程》(1829),它们以微积分的严格化为目标,对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义。在此基础上,柯西严格的表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理,定义了级数的收敛性,研究了级数收敛的条件等,他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。但1816年,在他获得法国科学院的大奖后,两年内就成为科学院院士,法兰西学院院士并获得综合工艺学院的教职。柯西(
3、1789~1857)柯西在数学上的贡献不凡,他一生写了令人咋舌的789篇数学论文。从数学史的观点,他最重要的成就或许在于,他是打下分析(实变量或复变量)严格基础的先驱者:另外,柯西在微分方程和复变函数等方面也都做出了卓越贡献。他的科学研究涉猎的范围极其广泛,几乎数学的每一个分支都可以看到柯西的足迹。他还是弹性力学理论基础的建立者,在光学和天体力学等方面,柯西同样做出了贡献。柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱,向分析的全面严格华迈出了关键的一布。例如收敛、极限、连续函数的意义(一说在布拉格受B
4、olzano的影响),无穷级数的收敛条件,复变量函数的定义等。另外他在微分方程、数学物理(弹性理论,光学等)、代数也有很大的贡献,并因此留给后人许多有威力的数学工具:柯西-Kovalevskaya定理,Fourier转换,矩阵的对角化,calculusofresidue等等。§5.1不定积分(1)不定积分概念(2)不定积分的基本性质(3)基本积分公式1.不定积分的概念与性质2.换元积分法(1)第一类换元积分法(2)第二类换元积分法(3)分部积分法(4)有理函数和三角函数的有理式的积分1.不定积分的概念与性质定义5.
5、1.1设f(x)是区间Ⅰ上有定义的函数,如果存在Ⅰ内的可导函数F(x),满足(1)不定积分概念x∈Ⅰ,x∈Ⅰ,则称F(x)是f(x)在区间Ⅰ上的一个原函数.例5.1.1在(-∞,+∞)内已知f(x)=2x,由于F(x)=x2满足F′(x)=(x2)′=2x,所以F(x)=x2是f(x)=2x在(-∞,+∞)上的一个原函数.同理,x2+3与x2+π的导数均为2x,因此均为2x的原函数.设F(x)和(x)为函数f(x)在区间Ⅰ内的两个原函数,那么对任意x∈Ⅰ,,因而(x)-F(x)=C.这说明f(x)的任何两个原函数
6、之间只差一个常数,由此可见f(x)所有原函数可表达为F(x)+C,(其中C是任意常数).若在某区间Ⅰ内F(x)是f(x)的一个原函数,C是任意常数,由于(F(x)+C)′=F′(x)=f(x),所以F(x)+C也是f(x)在Ⅰ内的原函数.由此引入不定积分概念.定义5.1.2函数f(x)在某区间的所有原函数称为f(x)的不定积分,记作.其中记号称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.如果F(x)是f(x)在区间Ⅰ内的一个原函数,则.因此,求不定积分只要求出它的一个原函数,再加一个
7、任意常数即可.函数f(x)的不定积分含有任意常数C,因此对每一个给定的C,都有一个确定的原函数,在几何上,相应地就有一条确定的曲线,称为f(x)的积分曲线.图5.1.1上例中为2x的积分曲线族,为2x过点(0,0)的一条积分曲线.因为C可以取任意数值,因此不定积分表示f(x)的一族积分曲线,如图5.1.1所示.这族曲线的特点是,它在横坐标相同的点处,所有的切线都彼此平行.例5.1.2求函数y=sinx的不定积分.解因为(-cosx)′=sinx,所以并不是任给一个函数都存在原函数,我们有如下结论:如果f(x)在某
8、区间上连续,则在该区间上f(x)原函数一定存在.由不定积分的定义,可得另一方面,如果F(x)是可微函数,则上述关系式表明求不定积分是求导数运算的逆运算.例5.1.3设曲线通过点(0,0),且其上任一点(x,y)的切线斜率等于横坐标的两倍,求此曲线的方程.解设所求曲线方程为y=y(x),由题设,y′=2x,y(x)是2x的一个原函数,其中C为任意常数,因为曲线
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