一元函数积分学及其应用

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1、第五章一元函数积分学及其应用数学家——柯西第一节不定积分第二节定积分第三节定积分应用柯西（1789～1857）1805年柯西进入综合工艺学院(EcolePolytechnique)，1807年毕业后，进入一所工程学院EcoledesPontsetChausse深造。在投入拿破仑军队，从事运河或港口工程等烦冗事务的同时，柯西（1789～1857）法国数学家，生卒于巴黎。在分析学与数学物理卓有贡献，也是微积分严格化的第一人。柯西努力研读Laplace的《天体力学》与Lagrange的《函数理论》，1815年之前，柯西

2、想在学术圈谋取教职的心愿一直不顺遂。柯西关于微积分基础的最具代表性的著作是他的《分析教程（1821）、《无穷小计算教程》（1823）、以及《微分计算教程》（1829），它们以微积分的严格化为目标，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义。在此基础上，柯西严格的表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。但1816年，在他获得法国科学院的大奖后，两年内就成为科学院院士，法兰西学院院士并获得综合工艺学院的教职。柯西（

3、1789～1857）柯西在数学上的贡献不凡，他一生写了令人咋舌的789篇数学论文。从数学史的观点，他最重要的成就或许在于，他是打下分析（实变量或复变量）严格基础的先驱者：另外，柯西在微分方程和复变函数等方面也都做出了卓越贡献。他的科学研究涉猎的范围极其广泛，几乎数学的每一个分支都可以看到柯西的足迹。他还是弹性力学理论基础的建立者，在光学和天体力学等方面，柯西同样做出了贡献。柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，向分析的全面严格华迈出了关键的一布。例如收敛、极限、连续函数的意义（一说在布拉格受B

4、olzano的影响），无穷级数的收敛条件，复变量函数的定义等。另外他在微分方程、数学物理（弹性理论，光学等）、代数也有很大的贡献，并因此留给后人许多有威力的数学工具：柯西-Kovalevskaya定理，Fourier转换，矩阵的对角化，calculusofresidue等等。§5.1不定积分（1）不定积分概念（2）不定积分的基本性质（3）基本积分公式1.不定积分的概念与性质2.换元积分法（1）第一类换元积分法（2）第二类换元积分法（3）分部积分法（4）有理函数和三角函数的有理式的积分1.不定积分的概念与性质定义5.

5、1.1设f(x)是区间Ⅰ上有定义的函数,如果存在Ⅰ内的可导函数F(x),满足(1)不定积分概念x∈Ⅰ,x∈Ⅰ,则称F(x)是f(x)在区间Ⅰ上的一个原函数．例5.1.1在(－∞，＋∞)内已知f(x)＝2x，由于F(x)＝x2满足F′(x)＝(x2)′＝2x，所以F(x)＝x2是f(x)＝2x在(－∞,＋∞)上的一个原函数．同理，x2＋3与x2＋π的导数均为2x，因此均为2x的原函数．设F(x)和(x)为函数f(x)在区间Ⅰ内的两个原函数，那么对任意x∈Ⅰ,,因而(x)－F(x)＝C．这说明f(x)的任何两个原函数

6、之间只差一个常数，由此可见f(x)所有原函数可表达为F(x)＋C，(其中C是任意常数)．若在某区间Ⅰ内F(x)是f(x)的一个原函数，C是任意常数，由于(F(x)＋C)′＝F′(x)＝f(x)，所以F(x)＋C也是f(x)在Ⅰ内的原函数．由此引入不定积分概念．定义5.1.2函数f(x)在某区间的所有原函数称为f(x)的不定积分，记作.其中记号称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量．如果F(x)是f(x)在区间Ⅰ内的一个原函数，则.因此，求不定积分只要求出它的一个原函数，再加一个

7、任意常数即可．函数f(x)的不定积分含有任意常数C，因此对每一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的曲线，称为f(x)的积分曲线．图5.1.1上例中为2x的积分曲线族，为2x过点(0，0)的一条积分曲线．因为C可以取任意数值，因此不定积分表示f(x)的一族积分曲线，如图5.1.1所示．这族曲线的特点是，它在横坐标相同的点处，所有的切线都彼此平行.例5.1.2求函数y＝sinx的不定积分．解因为(－cosx)′＝sinx，所以并不是任给一个函数都存在原函数，我们有如下结论：如果f(x)在某

8、区间上连续，则在该区间上f(x)原函数一定存在．由不定积分的定义，可得另一方面，如果F(x)是可微函数，则上述关系式表明求不定积分是求导数运算的逆运算．例5.1.3设曲线通过点(0，0)，且其上任一点(x，y)的切线斜率等于横坐标的两倍，求此曲线的方程．解设所求曲线方程为y＝y(x)，由题设，y′＝2x，y(x)是2x的一个原函数，其中C为任意常数，因为曲线