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《第三章一元函数积分学及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章一元函数积分学及其应用§1定积分的概念、存在条件与性质（5学时）一．背景1.曲边梯形的面积问题以上问题的思路可以分解为下列四个具体求解步骤：分：在区间内任意插入个分店：，把分割成个子区间，第个子区间的长度为：，。过各分点作平行于轴的直线，相应地曲边梯形就被分成个小曲边梯形；匀：在第个子区间上任取一点，对应小曲边梯形的面积用底为，高为的小矩形面积近似代替，则有，；合:将所有小曲边梯形的面积的近似值加起来得到曲边梯形面积A的近似值：A精：当越大并且每个子区间的长度越小时，上面的表达式越精确，因此，当所有子区间
2、长度的最大值（记作）趋于0时，上面和式的极限就规定为曲边梯形面积的精确值，即A=;1.物质非均匀分布的细棒质量问题以上问题的思路也可以分解为下列四个具体求解步骤：分：在区间内任意插入个分点：，把分割成个子区间，第个子区间的长度为：，。匀：在第个子区间上任取一点，则该段细棒质量的近似值为，；合:将各段细棒质量的近似值加起来得到细棒总质量的近似值：精：当越大并且每个子区间的长度越小时，上面的表达式越精确，因此，当所有子区间长度的最大值（记作）趋于0时，上面和式的极限就规定为曲边梯形面积的精确值，即=;二、定积分的定
3、义1．定义2．注意：1）不能用来代替；2）在构造和式时包含了两个任意性：即区间分割与的选取都是任意的。例1．判断Dirichlet函数的可导性；1）函数在区间上的定积分是一个确定的数，它的值仅与被积函数与积分区间有关，而与积分变量无关。2）补充规定：Ⅰ.=- Ⅱ.3．举例例1已知函数在区间上可积.用定义求积分.解取等分区间作为分法,.取.=.由函数在区间上可积,每个特殊积分和之极限均为该积分值.例2已知函数在区间上可积,用定义求积分.解分法与介点集选法如例1,有.上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是
4、积分.1．定积分的几何意义三、定积分的存在条件1．可积的必要条件:Th1，在区间上有界.证2．可积的充要条件:1）思路与方案:思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法及介点无关的条件.方案:定义上和和下和.研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件.2）Darboux和:以下总设函数在区间上有界.并设,其中和分别是函数在区间上的下确界和上确界.定义Darboux和,指出Darboux和未必是积分
5、和.但Darboux和由分法唯一确定.分别用、和记相应于分法的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和是数集(多值).但总有,因此有.和的几何意义.3）Darboux和的性质:本段研究Darboux和的性质,目的是建立Darboux定理.先用分点集定义分法和精细分法:表示是的加细.性质1若,则,.即:分法加细,大和不增,小和不减.(证)性质2对任何,有,.即:大和有下界,小和有上界.(证)性质3对任何和,总有.即:小和不会超过大和.证.性质4设是添加个新分点的加细.则有+,.证设是只在中第个区间内加上一个新分点所
6、成的分法,分别设,,.显然有和.于是.添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次.即证得第二式.可类证第一式.系设分法有个分点，则对任何分法，有，.证..4）上积分和下积分:设函数在区间上有界.由以上性质2，有上界，有下界.因此它们分别有上确界和下确界.定义记,.分别称和为函数在区间上的上积分和下积分.对区间上的有界函数,和存在且有限,.并且对任何分法,有.上、下积分的几何意义.例1求和.其中是Dirichlet函数.5）Darboux定理:Th1设函数在区间上有界,是区间的分法.则有=,=.证(只证第一式.要证
7、:对使当时有.是显然的.因此只证.),对,使<设有个分点,对任何分法,由性质4的系,有,由*式,得<即<亦即<.于是取,(可设,否则为常值函数,=对任何分法成立.)对任何分法,只要,就有.此即=.6）可积的充要条件:Th2（充要条件1）设函数在区间上有界.=.证设=,则有=.即对使当时有
8、
9、<对成立.在每个上取,使,于是,
10、
11、=<.因此,时有
12、
13、
14、
15、+
16、
17、<+=.此即=.由Darboux定理,=.同理可证=.=.对任何分法,有,而===.令和的共值为,由双逼原理=.Th3有界.对.证()=0.即对时,.,由,–
18、,=.定义称为函数在区间上的振幅或幅度.易见有0.可证=Th3’(充要条件2)有界.对.Th3’的几何意义及应用Th3’的一般方法:为应用Th3’,通常用下法构造分法:当函数在区间上含某些点的小区间上作不到任意小时,可试用在区间上的振幅作的估计,有.此时,倘能用总长小于,否则为常值函数)的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法的一部分分点，在区间的其余部分作分割，使在每
