第三章 一元函数积分学

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1、第三章一元函数积分学第一节不定积分1．两个概念:1）原函数：2）不定积分：2．基本积分公式：1)2)3)4)5)6)3．三种主要积分法1）第一类换元法（凑微分法）若2）第二类换元法：3）分部积分法“适用两类不同函数相乘”，4．三类常见可积函数积分1）有理函数积分（1）部分分式法（一般方法）；（2）简单方法（凑微分绛幂）；2)三角有理式积分（1）万能代换（一般方法）令（2）简单方法（三角变形，换元，分部）943)简单无理函数积分令例一基本题例3.1解法1解法2例3.2解例3.3解法1令，则==解法2=94==例3.4解（令）=则例3.

2、5解法1原式====原式=解法2令，则原式==94=例3.6解法1原式====解法2令，则原式====例3.7解法1（令）解法2解法3例3.8例3.994解法1解法2解法3令例3.10解令，则原式===例3.11解法1（令）解法2例3.12解1）若2)若943）若（令）例3.13。解法1令原式===解法2原式===例二变花样例3.14若求解由知则例3.15若为的一个原函数，求解94例3.16设为的原函数，且当时，，已知求.解法1由由解法2===，例3.17设求。解法1令，则=94=则解法2由知==则例3.18求不定积分解连续,原函数

3、必连续,在连续.令则故第二节定积分1。定义：2。可积性：1）必要条件：有界；2）充分条件:连续或仅有有限个第一类间断点；943。计算：1）2）换元法3）分部积分法4）利用奇偶性，周期性5）利用公式4变上限积分：1)连续性：设上可积，则在上连续。2）可导性：设上连续，则在上可导且变上限求导的三个类型：3）奇偶性：i）若为奇函数，则为偶函数。ii）若为偶函数，则为奇函数。例1（06年数二）：设是奇函数，除外处处连续，是第一类间断点，则是：.(A)连续的奇函数;(B)在间断的奇函数;(C)连续的偶函数;(D)在间断的偶函数.94例2(01

4、年,数3，4)设其中则在区间（0,2）内（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续例3（99年数一至四，05年数一二）．设是连续函数，是的原函数，则（A）是奇函数必是偶函数；（B）是偶函数必是奇函数；（C）是周期函数必是周期函数；（D）是单调增函数必是单调增函数.5。性质：1)不等式：i)若则ii)若在上连续，则iii)2)中值定理：i）若在上连续，则ii）若在上连续，不变号，则例（96年数四）设在上连续，在内可导，且。求证：在内至少存在一点，使例题例一基本题例3.1994解===（其中，单位图在第象限面积）例3.20解法1原式==

5、==.解法2原式===.例3.21解===94例3.22解令，则=例3.23解令，则，=.例3.24设，计算。解法1==解法2==解法3例3.2594解令，则==.例3.26；解法1，令则，解得=解法2令，则==例3.27解=94===例3.28已知连续，的值.解令得=从而有令得：例3.29设,,求.解法1====（令）=.解法2=94=以下同解法1例二综合题例3.30求解令则=原式=例3.31设连续,且,则.解（利用积分中值定理）==6例3.32求极限解法1由于则解法2由积分中值定理得94为无穷小量.介于1与之间为有界量，则例3.

6、33设函数连续，且，求极限。解=（令）原式==（洛比达法则）==（积分中值定理）=例3.34设,则___A)为正常数B)为负常数C)为0D)不是常数解：由于知，也可由以为周期得则为常数.94又===注：说明积分最简单的方法是几何的方法.例3.35试证:在上最大值不超过.证令得，（）由于在邻近两侧不变号，则不是的极值点，而当时，，当时，，则在取极大值，又因为为在上唯一的极值点，则该极大值为最大值.原题得证例3.36设是区间上的单调、可导函数，且满足.其中是的反函数，求.解等式两端对求导得即94而则例3.37设函数在内连续，，且对所有满

7、足条件，求解等式两端对求导得令得，上式两端对导得，又，则例3.38若,求.解等式两端同乘并从到积分得===则例3.39设连续,.令1)试证曲线在上是凹的.942)当为何值时,取得最小值.3)若的最小值可表示为,试求.解1)证：由于===则曲线在上是凹的2)令得（为偶函数）又，则单调增，从而为在上唯一的驻点，又，则在取极小值，由唯一性知，在取最小值.3)在上最小值为从而有上式两端对求导得，解此一阶线性微分方程得又，则，从而例三积分不等式证明积分不等式常用的方法：941）变量代换；2）积分中值定理；3）变上限积分；4）柯希积分不等式；；

8、例3.40求证:.证：=（令）=而=（令）则例3.41设在上连续,非负，单调减。求证:证法1只要证即由积分中值定理知由于单调减，则则原题得证证法2=（令）由于单调减，，则从而有94即例3.42设在上连续，单调增。求证:证法1，令只要证