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时间:2018-09-16
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1、第三章一元函数积分学第一节不定积分1.两个概念:1)原函数:2)不定积分:2.基本积分公式:1)2)3)4)5)6)3.三种主要积分法1)第一类换元法(凑微分法)若2)第二类换元法:3)分部积分法“适用两类不同函数相乘”,4.三类常见可积函数积分1)有理函数积分(1)部分分式法(一般方法);(2)简单方法(凑微分绛幂);2)三角有理式积分(1)万能代换(一般方法)令(2)简单方法(三角变形,换元,分部)943)简单无理函数积分令例一基本题例3.1解法1解法2例3.2解例3.3解法1令,则==解法2=94==例3.4解(令)=则例3.
2、5解法1原式====原式=解法2令,则原式==94=例3.6解法1原式====解法2令,则原式====例3.7解法1(令)解法2解法3例3.8例3.994解法1解法2解法3令例3.10解令,则原式===例3.11解法1(令)解法2例3.12解1)若2)若943)若(令)例3.13。解法1令原式===解法2原式===例二变花样例3.14若求解由知则例3.15若为的一个原函数,求解94例3.16设为的原函数,且当时,,已知求.解法1由由解法2===,例3.17设求。解法1令,则=94=则解法2由知==则例3.18求不定积分解连续,原函数
3、必连续,在连续.令则故第二节定积分1。定义:2。可积性:1)必要条件:有界;2)充分条件:连续或仅有有限个第一类间断点;943。计算:1)2)换元法3)分部积分法4)利用奇偶性,周期性5)利用公式4变上限积分:1)连续性:设上可积,则在上连续。2)可导性:设上连续,则在上可导且变上限求导的三个类型:3)奇偶性:i)若为奇函数,则为偶函数。ii)若为偶函数,则为奇函数。例1(06年数二):设是奇函数,除外处处连续,是第一类间断点,则是:.(A)连续的奇函数;(B)在间断的奇函数;(C)连续的偶函数;(D)在间断的偶函数.94例2(01
4、年,数3,4)设其中则在区间(0,2)内(A)无界(B)递减(C)不连续(D)连续例3(99年数一至四,05年数一二).设是连续函数,是的原函数,则(A)是奇函数必是偶函数;(B)是偶函数必是奇函数;(C)是周期函数必是周期函数;(D)是单调增函数必是单调增函数.5。性质:1)不等式:i)若则ii)若在上连续,则iii)2)中值定理:i)若在上连续,则ii)若在上连续,不变号,则例(96年数四)设在上连续,在内可导,且。求证:在内至少存在一点,使例题例一基本题例3.1994解===(其中,单位图在第象限面积)例3.20解法1原式==
5、==.解法2原式===.例3.21解===94例3.22解令,则=例3.23解令,则,=.例3.24设,计算。解法1==解法2==解法3例3.2594解令,则==.例3.26;解法1,令则,解得=解法2令,则==例3.27解=94===例3.28已知连续,的值.解令得=从而有令得:例3.29设,,求.解法1====(令)=.解法2=94=以下同解法1例二综合题例3.30求解令则=原式=例3.31设连续,且,则.解(利用积分中值定理)==6例3.32求极限解法1由于则解法2由积分中值定理得94为无穷小量.介于1与之间为有界量,则例3.
6、33设函数连续,且,求极限。解=(令)原式==(洛比达法则)==(积分中值定理)=例3.34设,则___A)为正常数B)为负常数C)为0D)不是常数解:由于知,也可由以为周期得则为常数.94又===注:说明积分最简单的方法是几何的方法.例3.35试证:在上最大值不超过.证令得,()由于在邻近两侧不变号,则不是的极值点,而当时,,当时,,则在取极大值,又因为为在上唯一的极值点,则该极大值为最大值.原题得证例3.36设是区间上的单调、可导函数,且满足.其中是的反函数,求.解等式两端对求导得即94而则例3.37设函数在内连续,,且对所有满
7、足条件,求解等式两端对求导得令得,上式两端对导得,又,则例3.38若,求.解等式两端同乘并从到积分得===则例3.39设连续,.令1)试证曲线在上是凹的.942)当为何值时,取得最小值.3)若的最小值可表示为,试求.解1)证:由于===则曲线在上是凹的2)令得(为偶函数)又,则单调增,从而为在上唯一的驻点,又,则在取极小值,由唯一性知,在取最小值.3)在上最小值为从而有上式两端对求导得,解此一阶线性微分方程得又,则,从而例三积分不等式证明积分不等式常用的方法:941)变量代换;2)积分中值定理;3)变上限积分;4)柯希积分不等式;;
8、例3.40求证:.证:=(令)=而=(令)则例3.41设在上连续,非负,单调减。求证:证法1只要证即由积分中值定理知由于单调减,则则原题得证证法2=(令)由于单调减,,则从而有94即例3.42设在上连续,单调增。求证:证法1,令只要证
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