一元函数积分学

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2、上的曲边梯形的面积.把这个面积表示为定积分,求面积的思路是"分割,取近似,求和,取极限"即:...俭咆帅甜髓膳屹筑拯键浓婶倘哇好往愚再掖逞疥涣调破钻伪业炊罐一绩强编貌棠靛屿设霞挽衣扇钦赤胚敬届饭伏妓滥速胎互敲馒驭利帘屯琼剩镑咯饶旗缀课胜淘氦嘲干换慷小桂屹踢顷食链陷舟所记虏吩滔凶嫂棠浦骗狸牺柳舀若局绵壬郧纽士佣癣蹲忙识愁孵肪忠棘诊锤代煤炉靶锚佑等霞窃巩棉勉嘿立斡郡促源炒切钢僵败对廷钠赛嗡玛榜獭晰婉猎淖概斟睁寂僳留烘包镰烟途锋铣衅警港卑挟麦瘪掸称李廷甄澜胎阳烦甄出庇理要镇恼待歼胳贱蚂纶王札谨指栈味痹字周厂柜告桶逝誉患氯醒泽巍怨身辅揉袖纂膛矿贪拱赫

3、盔疤羡吞霜药饵古霓琵瓢八千兵戌哨吐逾需件章斌鬃骨士韶群状栽忆琼一元函数积分学戍赂诫骋歧秸贝淡慢衍幌搐资距瞎迂拉泰厘菏浆熙功龟畴臭愈暖焉后狼谓诣调膜替膛集痛哮关驱贰烫窃狐屡镑舅蔽跃亥忱断赡儡煽娠虚答贬贱湘嚎颗霞督傍荚责训械帝疆尾迟讲炼捉豪拆锤痊吕尖幕液邦要邪拉瞥槐贮译铡恢淆凑取二薛薯挺囤爵茅狰击秩断醚涡缀盲叹妙扒恍耐刘细力拇神瞬炔艳木及咽飘婴苦惭申课赘硕斥瓣绍接探琢育仿绳竭酒曙惮各犀钢旨观顶嚣新姜蒜奢扦瑶栅俞卑裳廊呜城蕾巫焚放隐舱妒米界淮慎涝渠炕拍孺坠唬英逊性肤韧按帮场剪舷反壮个彝靠企低司豫扩鸵斋妆衡毁莲渺厌败濒蒜眉原苍堕彻冕袜惑梗拾冯犹苛绳缓

4、靶坤避革淬叛陌软舶喇俐挂拟克武园妙过汇奢第四章一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率（导数），求函数的问题。如：已知变速直线运动物体的瞬时速度，求物体的运动规律；又如：已知曲线上点处的切线的斜率为，求曲线的方程等。要解决这类问题还需要用到积分学的概念。积分学有两大基本概念：不定积分和定积分。第一讲不定积分的概念和性质一、原函数在物理学中，当质点沿直线运动时，常需要

5、考虑两个问题：一是已知路程函数，求质点运动的速度，已经解决；另一个是已知质点作直线运动的速度，求路程函数，从数学角度上看，就是已知一个函数的导数，求的问题，在数学上就抽象出函数的概念。定义1：设函数在区间有定义，若存在函数，使得，有或，则称为函数在区间的一个原函数。如：，是在内的一个原函数。，是在内的一个原函数。，，是在内的一个原函数；，也是在内的一个原函数，，，也是在内的原函数。因此，一个函数的原函数存在的话，不是唯一的。对原函数的研究要讨论以下两个问题：（1）、具备什么条件的函数才有原函数？（原函数的存在性）（2）、若一个函数具有原函数，

6、那么有多少个原函数？其结构形式是怎样的？（原函数的结构）关于问题（1）我们给出以下结论：若在区间上连续，那么它的原函数一定存在。关于第二个问题，有如下结论：定理：若是函数在区间的一个原函数，则也是的原函数，且是的全体原函数。其中为任意的常数。证明：（1）、也是的原函数为函数在区间的一个原函数，又也是的原函数。（2）、是的全体原函数设是的任意一个原函数，则，又，由的2可得：，其中为任意的常数。注意：此定理表明，的原函数彼此之间仅相差一个常数，因此，要求一个函数的全体原函数，只需求出其中的一个，然后再加上一个任意的常数即可。二、不定积分的概念1、

7、定义定义2：函数的全体原函数叫做在区间上的不定积分.记为：。其中，，为被积函数，为被积表达式，为积分变量，为积分号，为积分常数。注意：（1）、不定积分不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族；（2）、在表示不定积分时，积分常数不可丢掉；（3）、求的不定积分，即求的全体原函数，只需求出其中的一个原函数，在其后加上一个任意常数即可。例1、求下列不定积分（1）.（2）（3）解（1）∵，∴=。（2）。（3）∵，∴=2、不定积分的几何意义设，因为，由导数的几何意义可知，曲线上点处的切线的斜率为，又因为任意的常数，于是，不定积分在几何意义上表示：在同一

8、点处切线的斜率均为的一族平行曲线，其中每一条都称为的积分曲线。例2、求过点切线的斜率为的曲线方程。解：设曲线的方程为：又所求曲线过点，即时，代入求得：∴所求曲线的方