第4章一元函数积分学

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1、第4章一元函数积分学本章主要包括不定积分和定积分两部分，其重点是积分中值定理及其应用，难点是定积分可积性理论.§1不定积分I基本概念与主要结果一不定积分的概念与性质1定义设函数在区间上有定义，如果存在上的函数，使得，，则称是在上的一个原函数.在区间I上的全体原函数称为的不定积分，记作，即，其中为任意的实常数，通常称之为积分常数.注1原函数的存在性：若函数在区间I上连续，则必存在原函数.注2原函数若存在，则必有无穷多个，且彼此仅相差一个常数.注3并不是没一个函数都存在原函数，如具有第一类间断点的函数.注4初等函数在其定义域内一定有原函数，但初等函数的原函数未必是初等函

2、数，如因此，不定积分给出了一种新的函数表示法.2性质（1）；（2）；（3）；（4）；（为实常数）.二不定积分基本公式1，，，；2，；3；，　；，；，；4，；5，；6，特别地；，特别地；7，，，.三不定积分法则1分部积分法设和都是可导函数，且不定积分存在，则存在，且.2换元积分法.（1）第一换元积分法：已知右端不定积分，求左端（凑微分法）设可导，且，则.第二换元积分法：已知左端不定积分，求右端设函数在可导，，且，函数在有定义，，有，则在存在原函数，且基本步骤：令，(2)求，(3)代入得.基本方法：第一换元积分法：常用于以下几类函数（1）关于自变量线性函数（2）二次函数

3、，如：（3）被积函数可写成，如（4）被积函数可写成形式，如（5）被积函数可写成（6）被积函数可写成形式，，，等形式；（7）被积函数可写成形式；（8）被积函数含有指数函数，令；（9）倒代换；（10）被积函数含有的正整数次幂；（11）被积函数含有反三角函数等.第一换元积分法的关键：：从中分出一部分与凑成，余下可以表示为的函数，即把表示成第二换元积分法（常用去根号）（1）被积函数含有：1），令，2），令，3），令，根据所作的假设，可画图求其余的各三角函数表达式.（2），令；（3），令；（4），令（万能替换）.分部积分法常用于：（1）对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数

4、等与多项式函数之积；（2）三角函数与指数函数之积.四几类函数的不定积分求法1有理函数的不定积分，其中分别为次与次多项式，可转化为以下形式的不定积分之和.（1）；（2）；显然（1）（2）=，其中，.当时，有，当时，则有.2简单无理函数大多数无理函数的不定积分不能用初等函数来表示.如.基本原则：化无理函数为有理函数（1）型函数，是常数，且.令，；（2）其中是常数，.若则，令，即；若令，则得；或令，则得.3三角函数的不定积分（1）万能代换设，有，，从而，即可化为有理函数的不定积分.（2）是的奇函数，即=，令.（3）是的奇函数，即=，令.（4）若，则令.（5）若被积函数是情

5、形则有1）中至少有一个是奇数，比如则令，得2）若中均为偶数，则由，将其化简直至某一幂次为奇数为止.（6）被积函数是三角函数乘积形式，可用积化和差公式：，，.II典型例题不定积分不是考研的重点，但许多问题涉及到不定积分的计算，因此，要做一定量的不定积分的计算题。例1计算；（2）.解=.（2）解法二例2计算：（1）；（2）.解（1）；（2）.例3计算：.解由于，所以，原式.例4计算：（1）（2）.（华中科技大学）解（1）原式.或（2）原式.或原式注不定积分有时表现形式有较大区别，如本例（2），其正确性的验证：求导是否等于被积函数。例5计算.解，令，则，于是原式；用待定系

6、数法可得：，于是原式可变为例6计算：。解令或，当时，则，于是若，则，所以例7计算。解，令，则。例8计算（1）（西安交大）；（2）。解（1）当时，；当时，。（2）。例9计算：。解例10计算：解法一令，则（此处可直接利用公式）联立解之得解法二亦可直接积分，然后解方程组即可，事实上解之便得与的值。例11计算：解。例12（分段函数）设，求。解当时，，当时，，当时，，由连续知不定积分一定连续，从而由在点处的左右极限相等，可得：所以，注对于分段函数，若其不连续，则其不定积分可能不存在；若间断点为第一类，则不定积分必不存在。例13计算：解记被积函数为，则记为其一个原函数，则其中为

7、待定常数。由于连续，所以连续，由此可得所以，例14已知且，求。解令，则，代入原方程得积分得：，由得，故所求函数为思考题1（1）求函数满足条件的原函数；（2）设，求。提示：（1）化为分段函数；（2）令，。例15设，且，求。解。又.所以，。例16计算：（1），（2）。分析：此是有理分式函数的不定积分，可用待定系数法解之，但较繁.解（1）；（2）利用倒代数，于是例17计算：解法一将分子写成分母与分母导数的线性组合，即，故。解法二令，则，此乃有理分式函数，很容易求解，从略。解法三令，则解方程得。例18（浙江大学2002）求不定积分解由分部积分法得令，则，于是将其代入上式