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《第七章 多元函数积分学及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章多元函数积分学及其应用主要考点：必考内容.计算题主要考察基本方法，难度不大；填空与选择侧重考察概念、性质与技巧.难点：典型计算方法较多（务必熟练掌握），典型的性质与技巧有意识的总结.对数学一而言，内容与公式较多是掌握的难点.常见题型：以计算题为主，选择题、填空题、，证明题.一二重积分主要考点：注意：多元积分学始于二重积分，其方法与性质具有一定的普遍性，注意体会！①概念与简单性质．②二重积分的简化计算：对称性与几何意义．③二重积分的基本计算方法．④交换积分次序．⑤二重积分的应用及其它．知识网络图1．概念与简单性质．n定义：∫∫f(,)xydxdy=Δlim∑f(,)ξη
2、iiis是一个数λ→0Di=1性质与几何意义、物理意义：（1）区域可加性（2）比较定理（3）中值定理（4）∫∫fxy(,)dσ表曲顶柱体体积，又表薄板D的质量，∫∫dσ表示D的面积DDnnn【例】（10）lim∑∑22=（）x→∞ij==11()ninj++()1x11x1(A)dxdy(B)dxdy∫∫00(1++xy)(12)∫∫00(1++x)(1y)111111(C)dxdy(D)dxdy∫∫00(1++xy)(1)∫∫00(1++xy)(12)2222222【例】（05）设I=+=+cosxydIσ,cos(xyd)σ，I=+cos(xyd)σ，12∫∫∫∫3∫∫
3、DDD22其中Dx=+{(,)yxy≤1}，则(A)I>I>I.（B）I>I>I.(C)I>I>I.(D)I>I>I.32112321331222xy+22∫∫excos(+y)dxdy222xyr+≤【例】求lim2r→0r12222222【例】求lim[x+y]dσ,D是圆域x+y≤n,[x+y]表示不大于n→∞n3∫∫D22x+y的最大整数.n∈N。22【例】（02）设闭区域D：x+y≤y,x≥,0f(x,y)为D上的连续函数，且228f(x,y)=1−x−y−∫∫f(u,v)dudv，求f(x,y)。πD2．几何意义与对称性．几何意义：∫∫fxy(,)dσ表曲顶柱体
4、体积，∫∫dσ表示D的面积DD对称性：体会与理解！！！！(1)D关于y轴对称⎧0⎪f(,)−xy≡−fxy(,)∫∫fxydxdy(,)=⎨2(∫∫fxydxdy,)f(,)(,)−≡xyfxyD⎪⎩Dx∩≥{}0(2)D关于x轴对称⎧0⎪f(,)xy−≡−fxy(,)∫∫fxydxdy(,)=⎨2(∫∫fxydxdy,)f(,)xyfxy−≡(,)D⎪⎩Dy∩≥{}0(3)D关于y=x轴对称∫∫f(,)xydxdy=∫∫fyxdxdy(,).DD若还有f(,)xy=fyx(,),则∫∫f(,)xydxdy=2∫∫fyxdxdy(,)DD∩≥()yx你可以把他们推广到其它积
5、分吗？{22}【例】（05）设区域D=(x,y)x+y≤0,4≤x,y，f(x)为D上的正值连续函数，a,baf(x)+bf(y)为常数，则∫∫dσ=（）Df(x)+f(y)aba+b（A）abπ，（B）π，（C）(a+b)π，（D）π22【例】(08)设f()x是连续奇函数，gx()是连续偶函数，区域Dx=≤{(,)0yx≤1,−xyx≤≤}则正确的（）（A）∫∫fygxdxdy()()=0.（B）∫∫fxgydxdy()()=0.DD（C）∫∫[()()]fx+gydxdy=0.（D）∫∫[()()]fy+gxdxdy=0DD【例】(09)如图，正方形{()xy,1x≤
6、,y≤1}被其对角线划分为四个区域Dk()=1,2,3,4,I=yxcosdxdy则max{I}=（）kk∫∫k14≤≤kDk（A）I.（B）I.（C）I.（D）I.1234计算中得对称性222222【例】（04）求∫∫()x++yydσ，其中D是由圆xy+=4和(1xy+)+=1所围D成的平面区域。221+xy【例】（06）设区域Dx=+{(,)yxyx≤1,≥0}，计算二重积分dd.xy∫∫221++xyD222【例】(08)设Dx=+{(,)yxy≤1}，则∫∫()x−ydxdy=.D【例】（91）设D是xoy平面上以（1，1），（－1,1），和（－1，－1）为顶点的
7、三角形区域，D是D在第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dxdy等于（）1∫∫D（A）2∫∫cosxsinydxdy，（B）2∫∫xydxdy，（C）4∫∫(xy+cosxsiny)dxdy，（D）0。D1D1D1122(x+y)【例】（01）∫∫y1[+xe2dxdy,]D：y=x,y=−,1及x=1围成的平面区域。D3．二重积分的基本计算方法．(1)画出积分区域,看是否可以用对称性or几何意义(2)选择适当的坐标系.一般来说，区域为圆形、扇形、环型或被积函数形如22f(xyfyxfxy+),(/),(/
