第章 多元函数微分法及其应用

《第章 多元函数微分法及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第八章多元函数微分法及其应用本章主要内容：1.多元函数及其定义域、平面点集、重极限与累次极限、连续性、偏导数与全微分等基本概念，以及它们的相互关系。2.多元函数微分学的基本定理、微分法则与计算公式。3.隐函数存在定理及其微分法，方向导数与梯度的基本知识。4.多元函数的几何应用与极值。§8.1多元函数的基本概念[教学目标与教学要求]1．了解多元函数及多元函数的极限与连续的有关概念；2．了解在有界闭域上连续的多元函数的性质；3．会求多元函数的定义域；4．会求较简单的二元函数的极限；5．会判断二元函数的连续性。[教学重点与难点]求重极限的

2、主要方法（用夹逼法则，运用连续性，用定义论证，换元化为一元函数求极限）[教学方法与手段]多媒体互动教学[教学内容]1．平面点集n维空间2．多元函数概念3．多元函数的极限4．多元函数的连续性一、平面点集n维空间1．平面点集由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x,y)的全体,即R2=R´R={(x,y)

3、x,yÎR}就表示坐标平面.坐标平面上具有某

4、种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E={(x,y)

5、(x,y)具有性质P}.例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C={(x,y)

6、x2+y2

7、OP

8、表示点P到原点O的距离,那么集合C可表成C={P

9、

10、OP

11、0为半径的圆的

12、内部的点P(x,y)的全体.点P0的去心d邻域,记作,即.注:如果不需要强调邻域的半径d,则用U(P0)表示点P0的某个邻域,点P0的去心邻域记作.点与点集之间的关系:任意一点PÎR2与任意一个点集EÌR2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点:如果存在点P的某一邻域U(P),使得U(P)ÌE,则称P为E的内点;(2)外点:如果存在点P的某个邻域U(P),使得U(P)ÇE=Æ,则称P为E的外点;(3)边界点:如果点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则称P点为E的边点.E的边界点的全体,称为E的边界,记作¶E.E的内点

13、必属于E;E的外点必定不属于E;而E的边界点可能属于E,也可能不属于E.聚点:如果对于任意给定的d>0,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.由聚点的定义可知,点集E的聚点P本身,可以属于E,也可能不属于E.例如,设平面点集E={(x,y)

14、1

15、则称E为开集.闭集:如果点集的余集Ec为开集,则称E为闭集.开集的例子:E={(x,y)

16、1

17、1£x2+y2£2}.集合{(x,y)

18、1

19、1

20、1£x2+y2£2}.有界集:对于平面点集E,如果存在某一正

21、数r,使得EÌU(O,r),其中O是坐标原点,则称E为有界点集.无界集:一个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集.例如,集合{(x,y)

22、1£x2+y2£2}是有界闭区域;集合{(x,y)

23、x+y>1}是无界开区域;集合{(x,y)

24、x+y³1}是无界闭区域.2.n维空间设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有序数组(x1,x2,×××,xn)的全体所构成的集合,即Rn=R´R´×××´R={(x1,x2,×××,xn)

25、xiÎR,i=1,2,×××,n}.Rn中的元素(x1,x2,×××,xn)有时也用单个字母x来表示,即x

26、=(x1,x2,×××,xn).当所有的xi(i=1,2,×××,n)都为零时,称这样的元素为Rn中的零元,记为0或O.在解析几何中,通过直角坐标,R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应,因而Rn中的元素x