多元函数微分法及其应用

《多元函数微分法及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用第八章多元函数微分法及其应用教学目的：1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握多元复合函数偏导数的求法。6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、了解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学重点：1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、多元函数极值和条件极值的求法。教学难点：1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法；7、多元函数的最大值和最小值。青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用§8.1多元函数的基本概念一、教学目的与要求1．理解多元函数的概念。2．了解二元函数的极限与连续性的概念。3．了解有界闭区域上连续函数的性质。4．会求简单的多元函数的极限。二、重点（难点）：多元函数的极限三、主要外语词汇：Diversefunction，district，Twoheavyextremelimits。四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用一、平面点集n维空间1．平面点集由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x,y)的全体,即R2=R´R={(x,y)|x,yÎR}就表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E={(x,y)|(x,y)具有性质P}.例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C={(x,y)|x2+y20为半径的圆的内部的点P(x,y)的全体.点P0的去心d邻域,记作,即.注:如果不需要强调邻域的半径d,则用U(P0)表示点P0的某个邻域,点P0的去心邻域记作.点与点集之间的关系:任意一点PÎR2与任意一个点集EÌR2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点:如果存在点P的某一邻域U(P),使得U(P)ÌE,则称P为E的内点;(2)外点:如果存在点P的某个邻域U(P),使得U(P)ÇE=Æ,则称P为E的外点;(3)边界点:如果点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则称P点为E的边点.E的边界点的全体,称为E的边界,记作¶E.E的内点必属于E;E的外点必定不属于E;而E的边界点可能属于E,也可能不属于E.聚点:如果对于任意给定的d>0,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用由聚点的定义可知,点集E的聚点P本身,可以属于E,也可能不属于E.例如,设平面点集E={(x,y)|11}是无界开区域;集合{(x,y)|x+y³1}是无界闭区域.2.n维空间设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有序数组(x1,x2,×××,xn)的全体所构成的集合,即Rn=R´R´×××´R={(x1,x2,×××,xn)|xiÎR,i=1,2,×××,n}.Rn中的元素(x1,x2,×××,xn)有时也用单个字母x来表示,即x=(x1,x2,×××,xn).当所有的xi(i=1,2,×××,n)都为零时,称这样的元素为Rn中的零元,记为0或O.在解析几何中,通过直角坐标,R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应,因而Rn中的元素x=(x1,x2,×××,xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量,xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地,Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量.为了在集合Rn中的元素之间建立联系,在Rn中定义线性运算如下:设x=(x1,x2,×××,xn),y=(y1,y2,×××,yn)为Rn中任意两个元素,lÎR,规定x+y=(x1+y1,x2+y2,×××,xn+yn),lx=(lx1,lx2,×××,lxn).这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间.Rn中点x=(x1,x2,×××,xn)和点y=(y1,y2,×××,yn)间的距离,记作r(x,y),规定.显然,n=1,2,3时,上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至.Rn中元素x=(x1,x2,×××,xn)与零元0之间的距离r(x,0)记作||x||(在R1、R2、R3中,通常将||x||青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用记作|x|),即.采用这一记号,结合向量的线性运算,便得.在n维空间Rn中定义了距离以后,就可以定义Rn中变元的极限:设x=(x1,x2,×××,xn),a=(a1,a2,×××,an)ÎRn.如果||x-a||®0,则称变元x在Rn中趋于固定元a,记作x®a.显然,x®aÛx1®a1,x2®a2,×××,xn®an.在Rn中线性运算和距离的引入,使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念,可以方便地引入到n(n³3)维空间中来,例如,设a=(a1,a2,×××,an)ÎRn,d是某一正数,则n维空间内的点集U(a,d)={x|xÎRn,r(x,a)0,h>0}内取定一对值(r,h)时,V对应的值就随之确定.例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系,其中R为常数.这里,当V、T在集合{(V,T)|V>0,T>0}内取定一对值(V,T)时,p的对应值就随之确定.例3三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式.这里,当R1、R2在集合{(R1,R2)|R1>0,R2>0}内取定一对值(R1,R2)时,R的对应值就随之确定.定义1设D是R2的一个非空子集,称映射f:D®R为定义在D上的二元函数,通常记为z=f(x,y),(x,y)ÎD(或z=f(P),PÎD)其中点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用上述定义中,与自变量x、y的一对值(x,y)相对应的因变量z的值,也称为f在点(x,y)处的函数值,记作f(x,y),即z=f(x,y).值域:f(D)={z|z=f(x,y),(x,y)ÎD}.函数的其它符号:z=z(x,y),z=g(x,y)等.类似地可定义三元函数u=f(x,y,z),(x,y,z)ÎD以及三元以上的函数.一般地,把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D,映射f:D®R就称为定义在D上的n元函数,通常记为u=f(x1,x2,×××,xn),(x1,x2,×××,xn)ÎD,或简记为u=f(x),x=(x1,x2,×××,xn)ÎD,也可记为u=f(P),P(x1,x2,×××,xn)ÎD.关于函数定义域的约定:在一般地讨论用算式表达的多元函数u=f(x)时,就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.因而,对这类函数,它的定义域不再特别标出.例如,函数z=ln(x+y)的定义域为{(x,y)|x+y>0}(无界开区域);函数z=arcsin(x2+y2)的定义域为{(x,y)|x2+y2£1}(有界闭区域).二元函数的图形:点集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)ÎD}称为二元函数z=f(x,y)的图形,二元函数的图形是一张曲面.例如z=ax+by+c是一张平面,而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面.三.多元函数的极限与一元函数的极限概念类似,如果在P(x,y)®P0(x0,y0)的过程中,对应的函数值f(x,y)无限接近于一个确定的常数A,则称A是函数f(x,y)当(x,y)®(x0,y0)时的极限.定义2设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的聚点.如果存在常数A,对于任意给定的正数e总存在正数d,使得当时,都有|f(P)-A|=|f(x,y)-A|0,取,则当,即时,总有|f(x,y)-0|0,由于sinx在x0处连续,故$d>0,当|x-x0|0,使得对一切PÎD,有|f(P)|£M;且存在P1、P2ÎD,使得f(P1)=max{f(P)|PÎD},f(P2)=min{f(P)|PÎD},性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用§8.2偏导数一、教学目的与要求：1．理解偏导数的定义及其几何意义，并会求多元函数的偏导数。2．会求多元函数的高阶偏导数。二、重点（难点）：偏导数的计算三、主要外语词汇：Bepartialtoleadanumber，Highlevel。四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z=f(x,y),如果只有自变量x变化,而自变量y固定,这时它就是x的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z=f(x,y)对于x的偏导数.　　定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量Dx时,相应地函数有增量f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0).如果极限存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作,,,或.　　例如.类似地,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为,记作,,,或fy(x0,y0).偏导函数:如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对自变量的偏导函数,记作,,,或.偏导函数的定义式:.类似地,可定义函数z=f(x,y)对y的偏导函数,记为,,zy,或.偏导函数的定义式:.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用求时,只要把y暂时看作常量而对x求导数;求时,只要把x暂时看作常量而对y求导数.讨论:下列求偏导数的方法是否正确？,.,.偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为,其中(x,y,z)是函数u=f(x,y,z)的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题..　　例1求z=x2sin2y的偏导数.　　解,.　　例2设,求证:.　　证,..　　例3求的偏导数.　　解;.　　例4已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),求证:.证因为,;,;青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用,;　所以.　　例4说明的问题:偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商.　　二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数的几何意义:fx(x0,y0)=[f(x,y0)]x¢是截线z=f(x,y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率.fy(x0,y0)=[f(x0,y)]y¢是截线z=f(x0,y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率.偏导数与连续性:对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.例如在点(0,0)有,fx(0,0)=0,fy(0,0)=0,但函数在点(0,0)并不连续.　　提示:,;,.当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,有;当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时,有.因此,不存在,故函数f(x,y)在(0,0)处不连续.类似地,可定义函数z=f(x,y)对y的偏导函数,记为青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用,,zy,或.偏导函数的定义式:.二.高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数,,那么在D内fx(x,y)、fy(x,y)都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数z=f(x,y)的二偏导数.按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z=f(x,y)在区域D内的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数,,,.　　其中,称为混合偏导数.　,,,.　　　同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数.　　二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.　　例5设z=x3y2-3xy3-xy+1,求、、和.　解,;,;青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用,.由例5观察到的问题:定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.　　例6验证函数满足方程.　　证因为,所以,,,.　　因此.　　例7．证明函数满足方程,其中.　证:,青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用.　　同理,.　　因此　　..　　青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用§8.3全微分及其应用一、教学目的与要求：1．理解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。2．掌握多元函数的全微分的求法。3．理解多元函数全微分和偏导数的关系。二、重点（难点）：可微的充分条件和必要条件三、主要外语词汇：Wholedifferentialcalculus，Allincreasequantity。四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有偏增量与偏微分:f(x+Dx,y)-f(x,y)»fx(x,y)Dx,f(x+Dx,y)-f(x,y)为函数对x的偏增量,fx(x,y)Dx为函数对x的偏微分;f(x,y+Dy)-f(x,y)»fy(x,y)Dy,f(x,y+Dy)-f(x,y)为函数)对y的偏增量,fy(x,y)Dy为函数对y的偏微分.全增量:Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y).计算全增量比较复杂,我们希望用Dx、Dy的线性函数来近似代替之.定义如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)可表示为,其中A、B不依赖于Dx、Dy而仅与x、y有关,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,而称ADx+BDy为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即dz=ADx+BDy.如果函数在区域D内各点处都可微分,那么称这函数在D内可微分.可微与连续:可微必连续,但偏导数存在不一定连续.这是因为,如果z=f(x,y)在点(x,y)可微,则Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)=ADx+BDy+o(r),于是,从而.因此函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续.可微条件:定理1(必要条件)如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点的偏导数、必定存在,且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为.证设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是,对于点P的某个邻域内的任意一点P¢(x+Dx,青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用y+Dy),有Dz=ADx+BDy+o(r).特别当Dy=0时有f(x+Dx,y)-f(x,y)=ADx+o(|Dx|).上式两边各除以Dx,再令Dx®0而取极限,就得,从而偏导数存在,且.同理可证偏导数存在,且.所以.简要证明:设函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分.于是有Dz=ADx+BDy+o(r).特别当Dy=0时有f(x+Dx,y)-f(x,y)=ADx+o(|Dx|).上式两边各除以Dx,再令Dx®0而取极限,就得,从而存在,且.同理存在,且.所以.偏导数、存在是可微分的必要条件,但不是充分条件.例如,函数在点(0,0)处虽然有fx(0,0)=0及fy(0,0)=0,但函数在(0,0)不可微分,即Dz-[fx(0,0)Dx+fy(0,0)Dy]不是较r高阶的无穷小.这是因为当(Dx,Dy)沿直线y=x趋于(0,0)时,.定理2(充分条件)如果函数z=f(x,y)的偏导数、在点(x,y)连续,则函数在该点可微分.定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.按着习惯,Dx、Dy分别记作dx、dy,并分别称为自变量的微分,则函数z=f(x,y)的全微分可写作青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用.二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.叠加原理也适用于二元以上的函数,例如函数u=f(x,y,z)的全微分为.例1计算函数的全微分.解因为,,,所以.*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z=f(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续,并且|Dx|,|Dy|都较小时,有近似等式Dz»dz=fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy,即f(x+Dx,y+Dy)»f(x,y)+fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy.我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例2有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径由20cm增大到20.05cm,高度由100cu减少到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值.解设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V,则有V=pr2h.已知r=20,h=100,Dr=0.05,Dh=-1.根据近似公式,有DV»dV=VrDr+VhDh=2prhDr+pr2Dh=2p´20´100´0.05+p´202´(-1)=-200p(cm3).即此圆柱体在受压后体积约减少了200pcm3.例3计算(1.04)2.02的近似值.解设函数f(x,y)=xy.显然,要计算的值就是函数在x=1.04,y=2.02时的函数值f(1.04,2.02).取x=1,y=2,Dx=0.04,Dy=0.02.由于f(x+Dx,y+Dy)»f(x,y)+fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy=xy+yxy-1Dx+xylnxDy,所以青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用(1.04)2.02»12+2´12-1´0.04+12´ln1´0.02=1.08.例4利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是.现测得单摆摆长l与振动周期T分别为l=100±0.1cm、T=2±0.004s.问由于测定l与T的误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少？解如果把测量l与T所产生的误差当作|Δl|与|ΔT|,则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数的全增量的绝对值|Δg|.由于|Δl|,|ΔT|都很小,因此我们可以用dg来近似地代替Δg.这样就得到g的误差为,其中dl与dT为l与T的绝对误差.把l=100,T=2,dl=0.1,δT=0.004代入上式,得g的绝对误差约为..从上面的例子可以看到,对于一般的二元函数z=f(x,y),如果自变量x、y的绝对误差分别为dx、dy,即|Δx|£dx,|Δy|£dy,则z的误差;从而得到z的绝对误差约为青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用;z的相对误差约为.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用§8.4多元复合函数的求导法则一、教学目的与要求：1．掌握复合函数一阶偏导数的求法。2．会求复合函数的高阶偏导数。二、重点（难点）：复合函数求偏导数三、主要外语词汇：Diversecompoundfunction四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1如果函数u=j(t)及v=y(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[j(t),y(t)]在点t可导,且有.简要证明1:因为z=f(u,v)具有连续的偏导数,所以它是可微的,即有.又因为u=j(t)及v=y(t)都可导,因而可微,即有,,代入上式得,从而.简要证明2:当t取得增量Dt时,u、v及z相应地也取得增量Du、Dv及Dz.由z=f(u,v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性,有,,令Dt®0,上式两边取极限,即得.注:.推广:设z=f(u,v,w),u=j(t),v=y(t),w=w(t),则z=f[j(t),y(t),w(t)]对t的导数为:.上述称为全导数.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2如果函数u=j(x,y),v=y(x,y)都在点(x,y)具有对x及y的偏导数,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[j(x,y),y(x,y)]在点(x,y)的两个偏导数存在,且有,.推广:设z=f(u,v,w),u=j(x,y),v=y(x,y),w=w(x,y),则,.讨论:(1)设z=f(u,v),u=j(x,y),v=y(y),则？？提示:,.(2)设z=f(u,x,y),且u=j(x,y),则？？提示:,.这里与是不同的,是把复合函数z=f[j(x,y),x,y]中的y看作不变而对x的偏导数,是把f(u,x,y)中的u及y看作不变而对x的偏导数.与也朋类似的区别.3．复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形定理3如果函数u=j(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数v=y(y)在点y可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[j(x,y),y(y)]在点(x,y)的两个偏导数存在,且有,.例1设z=eusinv,u=xy,v=x+y,求和.解=eusinv×y+eucosv×1=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)],青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用=eusinv×x+eucosv×1=exy[xsin(x+y)+cos(x+y)].例2设,而.求和.解..例3设z=uv+sint,而u=et,v=cost.求全导数.解=v×et+u×(-sint)+cost=etcost-etsint+cost=et(cost-sint)+cost.例4设w=f(x+y+z,xyz),f具有二阶连续偏导数,求及.解令u=x+y+z,v=xyz,则w=f(u,v).引入记号:,;同理有,,等.,青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用.注:,.例5设u=f(x,y)的所有二阶偏导数连续,把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1);(2).解由直角坐标与极坐标间的关系式得u=f(x,y)=f(rcosθ,rsinθ)=F(r,θ),其中x=rcosθ,y=rsinθ,,.应用复合函数求导法则,得,.两式平方后相加,得.再求二阶偏导数,得.同理可得青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用.两式相加,得.全微分形式不变性:设z=f(u,v)具有连续偏导数,则有全微分.如果z=f(u,v)具有连续偏导数,而u=j(x,y),v=y(x,y)也具有连续偏导数,则.由此可见,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.例6设z=eusinv,u=xy,v=x+y,利用全微分形式不变性求全微分.解=eusinvdu+eucosvdv=eusinv(ydx+xdy)+eucosv(dx+dy)=(yeusinv+eucosv)dx+(xeusinv+eucosv)dy=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+exy[xsin(x+y)+cos(x+y)]dy.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用§8.5隐函数的求导法则一、教学目的与要求：1．掌握一个方程确定的隐函数的求偏导数的方法。2．了解由方程组所确定的隐函数的偏导数。二、重点（难点）：隐函数求偏导数的方法三、主要外语词汇：四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数,F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)¹0,则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),并有.求导公式证明:将y=f(x)代入F(x,y)=0,得恒等式F(x,f(x))º0,等式两边对x求导得,由于Fy连续,且Fy(x0,y0)¹0,所以存在(x0,y0)的一个邻域,在这个邻域同Fy¹0,于是得.例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值.解设F(x,y)=x2+y2-1,则Fx=2x,Fy=2y,F(0,1)=0,Fy(0,1)=2¹0.因此由定理1可知,方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x).,;,.隐函数存在定理还可以推广到多元函数.一个二元方程F(x,y)=0可以确定一个一元隐函数,青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用一个三元方程F(x,y,z)=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)¹0,则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件z0=f(x0,y0),并有,.公式的证明:将z=f(x,y)代入F(x,y,z)=0,得F(x,y,f(x,y))º0,将上式两端分别对x和y求导,得,.因为Fz连续且Fz(x0,y0,z0)¹0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域,使Fz¹0,于是得,.例2.设x2+y2+z2-4z=0,求.解设F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z,则Fx=2x,Fy=2z-4,,.二、方程组的情形在一定条件下,由个方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0可以确定一对二元函数u=u(x,y),v=v(x,y),例如方程xu-yv=0和yu+xv=1可以确定两个二元函数,.事实上,xu-yv=0ÞÞÞ,.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用如何根据原方程组求u,v的偏导数？隐函数存在定理3隐函数存在定理3设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v0)=0,且偏导数所组成的函数行列式:在点P(x0,y0,u0,v0)不等于零,则方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),它们满足条件u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0),并有,,,.隐函数的偏导数:设方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0确定一对具有连续偏导数的二元函数u=u(x,y),v=v(x,y),则青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用偏导数,由方程组确定;偏导数,由方程组确定.例3设xu-yv=0,yu+xv=1,求,,和.解两个方程两边分别对x求偏导,得关于和的方程组,当x2+y2¹0时,解之得,.两个方程两边分别对x求偏导,得关于和的方程组,当x2+y2¹0时,解之得,.另解将两个方程的两边微分得,即.解之得,.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用于是,,,.例4设函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点(u,v)的某一领域内连续且有连续偏导数,又.(1)证明方程组在点(x,y,u,v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u=u(x,y),v=v(x,y).(2)求反函数u=u(x,y),v=v(x,y)对x,y的偏导数.解(1)将方程组改写成下面的形式,则按假设由隐函数存在定理3,即得所要证的结论.(2)将方程组(7)所确定的反函数u=u(x,y),v=v(x,y)代入(7),即得,将上述恒等式两边分别对x求偏导数,得.由于J¹0,故可解得,.同理,可得青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用,.§8.6多元函数微分学的几何应用一、教学目的与要求：了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求它们的方程。二、重点（难点）：求曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程三、主要外语词汇：Sliceflatsurface，Methodline，Tangent，Methodflatsurface四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用一.空间曲线的切线与法平面设空间曲线G的参数方程为x=j(t),y=y(t),z=w(t)这里假定j(t),y(t),w(t)都在[a,b]上可导.在曲线G上取对应于t=t0的一点M0(x0,y0,z0)及对应于t=t0+Dt的邻近一点M(x0+Dx,y0+Dy,z0+Dz).作曲线的割线MM0,其方程为,当点M沿着G趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线.考虑,当M®M0,即Dt®0时,得曲线在点M0处的切线方程为.曲线的切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量.向量T=(j¢(t0),y¢(t0),w¢(t0))就是曲线G在点M0处的一个切向量.法平面:通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线G在点M0处的法平面,其法平面方程为j¢(t0)(x-x0)+y¢(t0)(y-y0)+w¢(t0)(z-z0)=0.例1求曲线x=t,y=t2,z=t3在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.解因为xt¢=1,yt¢=2t,zt¢=3t2,而点(1,1,1)所对应的参数t=1,所以T=(1,2,3).于是,切线方程为,法平面方程为(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0,即x+2y+3z=6.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用讨论:1.若曲线G的方程为y=j(x),z=y(x).问其切线和法平面方程是什么形式?提示:曲线方程可看作参数方程:x=x,y=j(x),z=y(x),切向量为T=(1,j¢(x),y¢(x)).2.若曲线G的方程为F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0.问其切线和法平面方程又是什么形式?提示:两方程确定了两个隐函数:y=j(x),z=y(x),曲线的参数方程为x=x,y=j(x),z=y(x),由方程组可解得和.切向量为.例2求曲线x2+y2+z2=6,x+y+z=0在点(1,-2,1)处的切线及法平面方程.解为求切向量,将所给方程的两边对x求导数,得,解方程组得,.在点(1,-2,1)处,,.从而T=(1,0,-1).所求切线方程为,法平面方程为(x-1)+0×(y+2)-(z-1)=0,即x-z=0.解为求切向量,将所给方程的两边对x求导数,得青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用.方程组在点(1,-2,1)处化为,解方程组得,.从而T=(1,0,-1).所求切线方程为,法平面方程为(x-1)+0×(y+2)-(z-1)=0,即x-z=0.二.曲面的切平面与法线设曲面S的方程为F(x,y,z)=0,M0(x0,y0,z0)是曲面S上的一点,并设函数F(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同时为零.在曲面S上,通过点M0任意引一条曲线G,假定曲线G的参数方程式为x=j(t),y=y(t),z=w(t),t=t0对应于点M0(x0,y0,z0),且j¢(t0),y¢(t0),w¢(t0)不全为零.曲线在点的切向量为T=(j¢(t0),y¢(t0),w¢(t0)).考虑曲面方程F(x,y,z)=0两端在t=t0的全导数:Fx(x0,y0,z0)j¢(t0)+Fy(x0,y0,z0)y¢(t0)+Fz(x0,y0,z0)w¢(t0)=0.引入向量n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)),易见T与n是垂直的.因为曲线G是曲面S上通过点M0的任意一条曲线,它们在点M0的切线都与同一向量n垂直,所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上.这个平面称为曲面S在点M0的切平面.这切平面的方程式是Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用曲面的法线:通过点M0(x0,y0,z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为.曲面的法向量:垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.向量n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))就是曲面S在点M0处的一个法向量.例3求球面x2+y2+z2=14在点(1,2,3)处的切平面及法线方程式.解F(x,y,z)=x2+y2+z2-14,Fx=2x,Fy=2y,Fz=2z,Fx(1,2,3)=2,Fy(1,2,3)=4,Fz(1,2,3)=6.法向量为n=(2,4,6),或n=(1,2,3).所求切平面方程为2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0,即x+2y+3z-14=0.法线方程为.讨论:若曲面方程为z=f(x,y),问曲面的切平面及法线方程式是什么形式?提示:此时F(x,y,z)=f(x,y)-z.n=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),-1)例4求旋转抛物面z=x2+y2-1在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.解f(x,y)=x2+y2-1,n=(fx,fy,-1)=(2x,2y,-1),n|(2,1,4)=(4,2,-1).所以在点(2,1,4)处的切平面方程为4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0,即4x+2y-z-6=0.法线方程为.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用§8.7方向导数与梯度一、教学目的与要求：理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。二、重点（难点）：求函数的方向导数与梯度三、主要外语词汇：Thedirectionleadsanumber，Stepsdegree四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用一、方向导数现在我们来讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题.设l是xOy平面上以P0(x0,y0)为始点的一条射线,el=(cosa,cosb)是与l同方向的单位向量.射线l的参数方程为x=x0+tcosa,y=y0+tcosb(t³0).设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域U(P0)内有定义,P(x0+tcosa,y0+tcosb)为l上另一点,且PÎU(P0).如果函数增量f(x0+tcosa,y0+tcosb)-f(x0,y0)与P到P0的距离|PP0|=t的比值当P沿着l趋于P0(即t®t0+)时的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在点P0沿方向l的方向导数,记作,即.从方向导数的定义可知,方向导数就是函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿方向l的变化率.方向导数的计算:定理如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)可微分,那么函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在,且有,其中cosa,cosb是方向l的方向余弦.简要证明:设Dx=tcosa,Dy=tcosb,则f(x0+tcosa,y0+tcosb)-f(x0,y0)=fx(x0,y0)tcosa+fy(x0,y0)tcosb+o(t).所以.这就证明了方向导数的存在,且其值为青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用.提示:.Dx=tcosa,Dy=tcosb,.讨论:函数z=f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的方向导数如何?提示:沿x轴正向时,cosa=1,cosb=0,;沿x轴负向时,cosa=-1,cosb=0,.例1求函数z=xe2y在点P(1,0)沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数.解这里方向l即向量的方向,与l同向的单位向量为.因为函数可微分,且,,所以所求方向导数为.对于三元函数f(x,y,z)来说,它在空间一点P0(x0,y0,z0)沿el=(cosa,cosb,cosg)的方向导数为.如果函数f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)可微分,则函数在该点沿着方向el=(cosa,cosb,cosg)的方向导数为=fx(x0,y0,z0)cosa+fy(x0,y0,z0)cosb+fz(x0,y0,z0)cosg.例2求f(x,y,z)=xy+yz+zx在点(1,1,2)沿方向l的方向导数,其中l的方向角分别为60°,45°,60°.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用解与l同向的单位向量为el=(cos60°,cos45°,cos60°).因为函数可微分,且fx(1,1,2)=(y+z)|(1,1,2)=3,fy(1,1,2)=(x+z)|(1,1,2)=3,fz(1,1,2)=(y+x)|(1,1,2)=2,所以.二.梯度设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P0(x0,y0)ÎD,都可确定一个向量fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j,这向量称为函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的梯度,记作gradf(x0,y0),即gradf(x0,y0)=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j.梯度与方向导数:如果函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可微分,el=(cosa,cosb)是与方向l同方向的单位向量,则,=gradf(x0,y0)×el=|gradf(x0,y0)|×cos(gradf(x0,y0),^el).这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系.特别,当向量el与gradf(x0,y0)的夹角q=0,即沿梯度方向时,方向导数取得最大值,这个最大值就是梯度的模|gradf(x0,y0)|.这就是说:函数在一点的梯度是个向量,它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向,它的模就等于方向导数的最大值.讨论:的最大值;结论:函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用我们知道,一般说来二元函数z=f(x,y)在几何上表示一个曲面,这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线L的方程为.这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L*,它在xOy平面上的方程为f(x,y)=c.对于曲线L*上的一切点,已给函数的函数值都是c,所以我们称平面曲线L*为函数z=f(x,y)的等值线.若fx,fy不同时为零,则等值线f(x,y)=c上任一点P0(x0,y0)处的一个单位法向量为.这表明梯度gradf(x0,y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同,而沿这个方向的方向导数就等于|gradf(x0,y0)|,于是.这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系.这说是说:函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同,它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线,梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数.梯度概念可以推广到三元函数的情形.设函数f(x,y,z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P0(x0,y0,z0)ÎG,都可定出一个向量fx(x0,y0,z0)i+fy(x0,y0,z0)j+fz(x0,y0,z0)k,这向量称为函数f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的梯度,记为gradf(x0,y0,z0),即gradf(x0,y0,z0)=fx(x0,y0,z0)i+fy(x0,y0,z0)j+fz(x0,y0,z0)k.结论:三元函数的梯度也是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.如果引进曲面f(x,y,z)=c为函数的等量面的概念,则可得函数f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的梯度的方向与过点P0的等量面f(x,y,z)=c在这点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面,而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用例3求.解这里.因为,,所以.例4设f(x,y,z)=x2+y2+z2,求gradf(1,-1,2).解gradf=(fx,fy,fz)=(2x,2y,2z),于是gradf(1,-1,2)=(2,-2,4).数量场与向量场:如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量f(M),则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等).一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定,如果与点M相对应的是一个向量F(M),则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等).一个向量场可用一个向量函数(M)来确定,而F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k,其中P(M),Q(M),R(M)是点M的数量函数.利用场的概念,我们可以说向量函数gradf(M)确定了一个向量场——梯度场,它是由数量场f(M)产生的.通常称函数f(M)为这个向量场的势,而这个向量场又称为势场.必须注意,任意一个向量场不一定是势场,因为它不一定是某个数量函数的梯度场.例5试求数量场所产生的梯度场,其中常数m>0,为原点O与点M(x,y,z)间的距离.解,同理,.从而.记,它是与同方向的单位向量,则.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用上式右端在力学上可解释为,位于原点O而质量为m质点对位于点M而质量为l的质点的引力.这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比,这引力的方向由点M指向原点.因此数量场的势场即梯度场grad称为引力场,而函数称为引力势.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用§8.8多元函数的极值及其求法一、教学目的与要求：1．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件。2．了解二元函数极值存在的充分条件，掌握求条件极值的拉格朗日乘数法。3．会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。二、重点：求极值的充分条件难点：拉格朗日乘数法。三、主要外语词汇：Thepolebeworth，Theconditionpolebeworth四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于(x0,y0)的点(x,y),都有f(x,y)f(x0,y0)),则称函数在点(x0,y0)有极大值(或极小值)f(x0,y0).极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.例1函数z=3x2+4y2在点(0,0)处有极小值.当(x,y)=(0,0)时,z=0,而当(x,y)¹(0,0)时,z>0.因此z=0是函数的极小值.例2函数在点(0,0)处有极大值.当(x,y)=(0,0)时,z=0,而当(x,y)¹(0,0)时,z<0.因此z=0是函数的极大值.例3函数z=xy在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.以上关于二元函数的极值概念,可推广到n元函数.设n元函数u=f(P)在点P0的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于P0的点P,都有f(P)f(P0)),则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0).定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则有fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.证明不妨设z=f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值.依极大值的定义,对于点(x0,y0)的某邻域内异于(x0,y0)的点(x,y),都有不等式f(x,y)0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值;(2)AC-B2<0时没有极值;(3)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值.在函数f(x,y)的驻点处如果fxx×fyy-fxy2>0,则函数具有极值,且当fxx<0时有极大值,当fxx>0时有极小值.极值的求法:第一步解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,求得一切实数解,即可得一切驻点.第二步对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B和C.第三步定出AC-B2的符号,按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值.例4求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值.解解方程组,求得x=1,-3;y=0,2.于是得驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2).再求出二阶偏导数fxx(x,y)=6x+6,fxy(x,y)=0,fyy(x,y)=-6y+6.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用在点(1,0)处,AC-B2=12×6>0,又A>0,所以函数在(1,0)处有极小值f(1,0)=-5;在点(1,2)处,AC-B2=12×(-6)<0,所以f(1,2)不是极值;在点(-3,0)处,AC-B2=-12×6<0,所以f(-3,0)不是极值;在点(-3,2)处,AC-B2=-12×(-6)>0,又A<0,所以函数的(-3,2)处有极大值f(-3,2)=31.应注意的问题:不是驻点也可能是极值点,例如,函数在点(0,0)处有极大值,但(0,0)不是函数的驻点.因此,在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑.最大值和最小值问题:如果f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上.我们假定,函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点,这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值),那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是:将函数f(x,y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值(最小值).例5某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取多少时,才能使用料最省.解设水箱的长为xm,宽为ym,则其高应为m.此水箱所用材料的面积为.令,,得x=2,y=2.根据题意可知,水箱所用材料面积的最小值一定存在,并在开区域D={(x,y)|x>0,y>0}内取得.因为函数A在D内只有一个驻点,所以此驻点一定是A的最小值点,即当水箱的长为2m、宽为2m、高为m时,水箱所用的材料最省.因此A在D内的唯一驻点(2,2)处取得最小值,即长为2m、宽为2m、高为m时,所用材料最省.青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案第八章多元函数微分法及其应用从这个例子还可看出,在体积一定的长方体中,以立方体的表面积为最小.例6有一宽为24cm的长方形铁板,把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽.问怎样折法才能使断面的面积最大？解设折起来的边长为xcm,倾角为a,那末梯形断面的下底长为24-2x,上底长为24-2x×cosa,高为x×sina,所以断面面积,即A=24x×sina-2x2sina+x2sinacosa(0