多元函数微分法及其应用

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第八章　多元函数微分法及其应用一、基础题1．单项选择．函数的定义域是（　　）．A　　　　　　　　　B　C　　　　　　D　解：C．因为应满足不等式组　由于　，　所以　．2．填空．已知函数，则＝__________．解　．．3．求下列函数的极限（1）；　　　　　（2）．解（1）．（2）．4．证明下列极限不存在：（1）；（2）．证（1）当沿直线趋于时，有，显然它随的值不同而改变，故所给的极限不存在．（2）因为，，所以所给的极限不存在．5．证明．证因为28 要使，只要，所以，取，就有成立，即．6．求下列函数的偏导数：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1），．（2），．（3），．（4），，．7．求下列函数的二阶偏导数：（1）；（2）．解（1），，．（2），，．8．设，求．28 解　　从而　　．9．设，求．解因为，，．所以．10．求下列函数的全微分：（1）；（2）．解（1）因为，，所以．（2）因为，所以．11．设，讨论在处：（1）的偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？28 （3）是否可微？解　（1），同理．（2）由于，在直线上可见不存在．同样不存在．因此在点不连续．（3）由于令，则　　　因此，在点可微．12．设，而，求．解　　　．13．求的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）．解　将中间变量依次编为1,2号，则14．设，而为可导函数，证明．证　．15．设，其中是可导函数，验证．28 证　，，故　．16．设是由方程所确定的二元函数，求．解　方程两边求微分，得　从而　　　　．17．设，求．解　　　，18．设，求．解方法一　设，则，所以．方法二　方程两端分别对求偏导数，得，解得．方程两端分别对求偏导数，得，解得．方法三　方程两端求全微分，得，解得，所以．28 19．设，求．解　设，则　．于是　　　．20．设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足．证　令，则，，．所以，．于是．21．设，求．解设，．则，．在的条件下，有，，，．28 22．已知，其中是和的函数，求证：．证　方程两边对求导，得，所以　　，方程　两边对求导，得，所以　　　　　．从而故　　　．23．求曲线在点处的切线及法平面方程．解　点对应的参数．曲线在该点处的切向量，于是曲线在给定点处的切线方程为．法平面方程为　，即　　　．24．求出曲线上的点，使在该的切线平行于平面．解　因为，设所求点对应的参数为，于是曲线在该点处的切向量可取为．已知平面的法向量为，由切线与平面平行，得，即，解得和．于是所求点为或．25．求椭球面上平行于平面的切平面方程．解　设，则曲面在点处的一个法向量为．已知平面的法向量为28 ，由已知平面与所求平面平行，得，即，代入椭球面方程得，解得，则．所以切点为，所求切平面方程为，即．26．求旋转球面上点处的切平面与面的夹角的余弦．解　设，曲面的法向量为，曲面在点处的法向量为，面的法向量为，记与的夹角为，则所求的余弦值为．27．求函数在球面上点处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数．解　设，则，于是球面在处的外法线方向向量可取为，的方向余弦为，又　　　　　　　故　　　28．问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值．解　函数在点处沿方向的方向导数最大，而，．故方向导数的最大值为　．29．求下列函数的极值：(1)；　(2)．解　(1)　解方程组　，得驻点．又　　　　　　，28 ．由判断极值的充分条件知：在点处函数取得极大值．(2)　解方程组　得驻点　．又　，在点处，，故　不是极值；在点处，，故　不是极值；在点处，，故　是函数的极大值；在点处，，故　不是函数的极值；在点处，，故　不是函数的极值．30．求曲线在点处的切线及法平面方程．解　点对应的参数．曲线在该点处的切向量，于是曲线在给定点处的切线方程为．法平面方程为　，即　．31．求在点处的梯度．解　因为　所以　　．32．求函数在抛物线上点处，沿着这抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数．解　先求切斜率：在两端分别对求导，得于是，28 ，切线方向，．又，．故．33．试证曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上截距之和等于．证　设，则曲面在点处的一个法向量为曲面在处的切平面方程为化为截距式，有　　　所以截距之和为．34．在平面上求一点，使它到及三直线的距离平方和最小．解设所求的点为，则此点到三直线的距依次为．三距离平方和为．由　　求得驻点．由于驻点唯一，且根据问题本身，知距离平方和最小值一定存在，故所求点即为．35．要造一个容积等于定数的无盖长方体水箱，应如何选择水箱的尺寸，方可使它的表面积最小．解　方法一：设水箱的长、宽、高分别为，则水箱的表面积为约束条件为．作拉格朗日函数由　，解得　是惟一的驻点，由问题本身可知一定有最小值，所以表面积最小的水箱的长和宽都应为，高为．方法二：本题也可用无条件极值来做．28 设水箱的长、宽、高分别为，则水箱的表面积为且　　，，则．由　　　　　　　，解得　　　　　．由于是惟一的驻点，由问题本身可知一定有最小值，所以表面积最小的水箱的长和宽都应为，此时高为．36．求内接于半径为的球且有最大体积的长方体．解　设球面方程为，是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点，则此长方体的长、宽、高分别为，体积为．令　　　　　　　，由　　　　　，解得　　，代入　得　　．故是惟一驻点，由题意可知满足题意的长方体必有最大体积，所以长方体的长、宽、高都为时体积最大．37．求函数在点的泰勒公式．解　　　，，．函数为二次多项式，三阶及三阶以上的各偏导数都为零．又　　　　将以上各项代入泰勒公式，得　38．求函数在点的阶泰勒公式．28 解　　　，又　　　　，将以上各项代入泰勒公式，得其中39．某种合金的含铅量百分比（%）为，其熔解温度℃为，由实验测得与的数据如下表：(%)36.946.763.777.884.487.5/℃181197235270283292试用最小二乘法建立与之间的经验公式．解　设是各个数据的偏差平方和，即，令　　　　　　　整理，得　　　　计算，得　　　　，代入方程组，得　　解得　　　　　　　．二、提高题1．单项选择：（1）二元函数在点处两个偏导数存在，则在该点（　　）．A连续　　B不连续　　C可微　　D不一定可微（2）已知曲面上点的切平面平行于平面，则点的坐标是（　　）．A　　　　B　　　　C　　　　D　解（1）　D．由在点28 处可微、可偏导、连续的关系知可偏导与连续无关，可偏导也不一定可微．（2）B．设的坐标为，则曲面在该点的法向量为，它与所给平面的法向量平行，即，所以，此时．2．填空：（1）．（2）设，则求．（3）设，则在点处的值为________．解　（1）0．．　（2）　．因为，令，则即　，此时，从而．（3）　．由于混合偏数的连续性，它与求导次序无关．为简化计算，先求，3．设，而，求，．解　　　　28 4．设，而，求．解　　　．5．设，求．　　解　，，．6．求下列函数的，，（具有二阶连续偏导数）．（1）；　　　　　（2）。解　（1）令　，并将依次编号为1,2，则，　　（2）（2）令，并将依次编号为1,2,3，则，．．28 ；　　　　；　　　　　　　　　　　　　　．7．设求．解设，则，于是　　　．．8．设函数，，其中可微，且连续，求．解两边同时对中的求导，有，．28 所以同样可求得故．9．设，，，其中都具有一阶连续偏导数，，求．　解记分别为编号1，2,3，并对方程两边对求导，有，而，所以，故．10．设，其中具有一阶连续偏导数，求．解此方程组可以确定两二元隐函数：，分别在方程两端对求偏导数，得，移项整理得．在的条件下，解方程组得；．11．求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数．解　先求切线斜率：方程两边对求导，得，28 即或，　　，法线斜率为　，故内法线向量为，又　　　，故　　　．12．求曲线：在点处的切线和法平面方程．解　当时，．故切线方程为　　法平面方程为　　，即　　　　　　　．13．求曲面平行于平面的切平面方程．解　设的切平面平行于已知平面，处的法向量为，故　　　　　．由　，得　　．于是，所求平面方程为　　　　，即　　　　　　．14．设直线：在平面上，而平面与曲面相切于，求．解　先求平面的方程：设，则　　　，在点处曲面的法向量为　，切平面即平面的方程为　　即　　　　　　．再将化为参数方程：．为求直线上一点，28 在解方程组中　　，取　，方程组变形为　因此直线的对称式方程为　　，从而直线的参数方程为代入平面方程，得即　　　　所以　　　　．15．设，而，验证．证　　．16．设，而是由方程所确定的函数，其中都具有一阶连续偏导数．试证明．证　分别对与两端求全微分，得由，有　　　　　　　　　　　　　　由，有　　，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　28 由，有　　即　　　　　　　从而　　　　　　．17．求函数在由直线轴轴所围成的闭区域上的极值，最大值，最小值．解　令　，解之，在内有　．又　　　，在处，，，故在处取得极大值．又　，当　　时，，对求导并令导数为0，有　，相应地，而　　　，故　　　在上的最大值为，最小值为．18．在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小．求这切平面的切点，并求此最小体积．解　设椭球面上一点，令则椭球面在点的法向量为过的切平面方程为：即该切平面在轴上的截距分别为　　，切平面与三坐标轴所四面体的体积为　　　．现求在条件下的最小值．令28 解方程组　　　　，得　　　．即当切点坐标为时，切平面与三坐标轴所围的四面体的体积最小，最小体积为　　　．19．在平面与三坐标轴所围成的四面体内作一个以该平面为顶面，在坐标面上的投影为长方形的六面体中体积体积最大者．解六面体的体积为令解之得驻点．因为　　又　　　所以在处取得极大值，即最大值．最大值为．三、考研题1．（97,3分）二元函数在点　（　　）．A　连续，偏导数存在　　　　　B　连续，偏导数不存在　28 　　　C　不连续，偏导数存在　　　　D　不连续，偏导数不存在解：因为即偏导数存在，但　　　．故选C．（由该极限式子可知在处没有极限）2．（06,4分）设与均为可微函数，且．已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（）．A若，则B若，则C若，则D若，则解：由于，由解得,代入，成为．由复合函数求导数、隐函数微分法以及极值必要条件，有其中．若，得，未必，也推不出．若，则，因此必有．故选D．3．（05,4分）设函数，其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有（）．ABCD解：，，，．由此看到．故选B．4．（05,4分〗设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在此邻域内该方程（）．A只能确定一个具有连续偏导数的隐函数，B可确定两个具有连续偏导数的隐函数和，C可确定两个具有连续偏导数的隐函数和，D可确定两个具有连续偏导数的隐函数和．28 解：　　令,，，，．由隐函数存在条件，不能保证A正确，也不能保证B、C正确，而可以保证D正确．故选D．5．（05,4分）设函数，单位向量，则．解．，而由方向导数的计算公式得6．（99,5分）设是由方程和所确定的函数，其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求．解上述每个方程对求导，得方程组项这是以为未知数的二元一次方程组，解得．7．（97,7分）设函数具有二阶连续导数，而满足方程，求．解　设　，利用复合函数求导法，有，　28 ，　代入　并整理，有这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为，特征根为因此　，其中为任意常数．8．（96,5分）用变换可把方程化简为，求常数，其中有二阶连续的偏导数．解由复合函数求导法，得再用复合函数求导法代入并整理：．于是，令　，得或当时，，故舍去．当时，．因此仅当时化简为．9．（91,5分）设是曲面在点处的指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数．解　曲面上点的法向量为，在点指向外侧，取正号，并单位化得而　　　　所以　　由方向导数计算公式，有28 　　　　．10．（04,12分）设是由确定的函数，求的极值点和极值．解由，有(1)(2)为求驻点，令，得．再与原方程联立解得,．为求判别量，再将（1）分别对求偏导数，将（2）分别对求偏导数,得，，，．将点代入，并注意到，于是，，所以是的极小值点，极小值为．将点代入，并注意到，于是，所以是的极大值点，极大值为．11．（02,7分）设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占区域为，小山的高度函数为．28 （1）设为区域上的一个点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式．（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在的边界曲线上找出使（1）中的达到最大值的点．试确攀登起点的位置．解（1）由梯度向量的重要性质，函数在点处沿该点的梯度方向为方向导数取最大值即的模，所以．（2）按题意，即求在条件下的最大值点．也就是在条件下的最大值点．令，则有．解此方程组：将式与式相加得　，即或．若，则由式得，即．若，由或均得，代入式得，即．于是得可能的极值点为．现比较在这些点的函数值：．因实际问题存在最大值，而最大值又只可能在中取到．因此，在取到在的边界上的最大值，即可作为攀登的起点．四．测试题1．单项选择题（1）已知为某函数的全微分，则为（　　）．A　－1　　　　B　0　　　　　C　1　　　　　　D　2（2）已知函数在点的某邻域内连续，且，则（　　　）．A　点不是的极值点　　　　C　点是的极大值点28 C　点是的极小值点　　　　D　根据所给条件无法判断点是否为的极值点（3）函数在点处存在，则在该点（　　）．A　连续　　B　不连续　　C　可微　　D　不一定可微（4）函数在驻点处取得极大值．设，，，则有（　　）．A　　　　　B　C　　　　　D　2．填空题（1）函数当时的全微分___________．（2）设函数，，且，则为_________．（3）函数在点处沿点指向点方向的方向导数为_____．（4）由曲线绕轴旋转一周得到的旋转曲面在点处的指向外侧的单位法向量为___________．3．设，具有二阶连续导数，求．4．设函数在点处可微，且，，，，求．5．求过直线：且与曲面相切的平面方程．6．抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离．测试题解答1．解（1）D．（2）A．（3）D．（4）D．2．解（1）　．（2）．（3）．（4）．28 3．解　令　，则．4．解　，因为　　　，所以，只需求出．由复合函数求导法，　　　　　　　　．．由条件　　　，因此　　，　从而　　．5．解　令　，则　　　　　过直线的平面束方程为　　　，即　　　　　其法向量为　　　设曲面与切平面的切点为，则由，有　　代入，得　　解之，得　　　　，因而故所求切平面方程为或　　　即　　　或　　．28 6．解　设椭圆上的点为，则原点到该点距离的平方为　，满足条件，．作拉格朗日函数　　令　　　　　　　，得　　故有　　　　　　　或　由　，得　不合题意，舍去．将　　代入　，，得　　　　　解得　　　　即得两点　与　它们是两个可能的极值点．由题意可知这种距离的最大值与最小值一定存在，所以距离的最大值和最小值分别在这两点处取得．而故最长与最短距离分别为．28