《函数积分学》PPT课件(I)

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1、第十六章一元函数积分学(一)本章内容小结(二)常见问题分类及解法(三)思考题(四)课堂练习(一)本章内容小结一、主要内容1、原函数和不定积分的概念；基本积分公式，基本积分法则，换元法，分部积分法.2、定积分的定义；微积分基本定理；牛顿-莱布尼兹公式及其应用.二、重点和难点本章重点是不定积分的计算和利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.难点是不定积分的计算和定积分的定义.四、对学习的建议1、不定积分的计算掌握得熟练与否不仅影响着定积分的计算和应用，而且将影响到今后学习多元函数积分的计算以及微分方程的求解等，因此务必

2、给予重视.不定积分的计算中凑微分法的使用是个难点，它的基本思路是通过恒等变化积分表达式中的微分形式，使积分表达式在形式上符合基本积分公式，从而解决积分问题.要熟练掌握凑微分法，一是要熟记基本积分公式，二是熟悉常用的微分公式，三是多做多看，积累经验，熟悉技巧.分部积分法主要是针对被积函数为乘积形式的积分，其方法是将所给积分化为形如,然后利用公式总之，不定积分的解法很灵活，求解途径不止一种，以下所说都是一些基本情况和常规思路，而实际上面对的情况是千变万化的，有时解法需要技巧性很强，例如，即使被积函数中无根式，也可

3、考虑使用第二换元法等.这就要求多看多练，多总结归纳.2、对于定积分的定义应通过引入例题深刻理解，它的精要之处是“分割求近似，求和取极限”，这种数学思想在利用定积分解决实际问题中尤为重要.五、本章关键词不定积分积分法定积分公式定理(二)常见问题分类及解法一、直接积分法求不定积分解许多不定积分先要对被积函数适当变形，根据不定积分的性质，结合代数和三角公式的恒等变形，直接利用基本积分公式求不定积分.二、利用第一换元积分法(凑微分法)求不定积分在不定积分的计算中，凑微分法就是根据被积函数，利用微分形式不变性，“凑”成

4、一个在基本积分公式中的函数，求出不定积分.凑微分法比较灵活，应该通过较多的训练，将凑微分法掌握好.可以看到，许多不定积分的计算用凑微分法显得比较简单.该方法的一般计算步骤如下：应用凑微分法时，需注意运用以下几个凑微分思路：解解三、利用第二换元积分法求不定积分先换元后积分的具体计算步骤如下：由以上三步组成的方法称为第二换元积分法.解解解据题意作图如图16-1所示.图16-1例6示意解据题意作图如图16-2所示.图16-2例7示意四、利用分部积分法求不定积分如果被积函数是幂函数与指数函数的乘积、幂函数与正(余)弦

5、函数的乘积、幂函数与对数函数或三角函数的乘积以及指数函数与正(余)弦函数的乘积，就可以考虑用分部积分法.表16-1分部积分表解解法一据题意作图(见图16-3).图16-3例9示意解法二解法三由此可见，不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法.在具体的问题中，常常是各种方法综合使用，针对不同的问题就采用不同的积分方法.五、可变上限的定积分对上限的求导解解解六、利用换元积分法计算定积分应用定积分的换元法时，要考虑被积函数的特点，与不定积分换元法类似，定积分的换元法也包括凑微分、简单根式代换、三角代换等.必

6、须指出换元法中定积分与不定积分不同的是：解解七、利用分步积分法计算定积分定积分的被积函数的特点与不定积分的分部积分法类似，但不必先由不定积分的分部积分法求出原函数再用牛顿-莱布尼兹公式求出原函数在积分上限和下限值的差，而直接应用定积分的分部积分法，可能会使积分简化.解解八、利用函数的奇偶性计算定积分解证(三)思考题答案答案答案答案1、凑微分法求不定积分的步骤是什么？2、试写出不定积分与定积分在应用换元法时的区别是什么？4、熟记微积分基本公式即牛顿-莱布尼兹公式.(四)课堂练习题答案答案答案答案返回1、先凑微分

7、，再进行变量代换后积分，最后回代.返回2、第一：定积分在换元时，一定要将积分上、下限也作相应变换.第二：不定积分在换元时，要将变量回代；而定积分不需回代，它是一个数.返回返回返回返回返回返回