函数的微分及其应用(I)

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1、引例一块正方形金属片受热后其边长x由x0变到x0Dx考查此薄片的面积A的改变情况.因为Ax2所以金属片面积的改变量为DA(x0Dx)2(x0)22x0Dx(Dx)2A=x02x0x0xxx0xx0x(x)2当Dx0时(Dx)2o(Dx)DA的主要部分是Dx的线性函数2x0Dx2x0Dx是DA的近似值一、微分的定义设函数yf(x)在某区间内有定义x0及x0Dx在这区间内如果函数的增量Dyf(x0Dx)f(x0)可表示为DyADxo(Dx)其中A是不依赖于Dx的常数o(Dx)是比Dx高阶的无穷小那

2、么称函数yf(x)在点x0是可微的而ADx叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分记作dy即dyADx微分的定义函数f(x)在点x0可微函数f(x)在点x0可导并且Af(x0)可微与可导的关系yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)dy=ADx这是因为一方面另一方面其中a0(当Dx0)且A=f(x0)是常数aDxo(Dx),函数yf(x)在任意点x的微分称为函数的微分记作dy或df(x)即dyf(x)Dx例如dcosx(cosx)DxsinxDxdex(ex)Dx

3、exDxyf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)dy=ADx可微与可导的关系函数f(x)在点x0可微函数f(x)在点x0可导并且Af(x0)例1求函数yx2在x1和x3处的微分dy(x2)

4、x1Dx2Dx函数yx2在x3处的微分为dy(x2)

5、x3Dx6Dx例2求函数yx3当x2Dx002时的微分yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)dy=ADx解函数yx2在x1处的微分为解先求函数在任意点x的微分dy(x3)Dx3x2Dx再求函数当x2Dx002时的

6、微分dy

7、x=2,Dx=0.02=3220.02=0.24=3x2

8、x=2,Dx=0.02求函数当从2变到1.99时的微分4、练习因为当y=x时dy=dx=(x)Dx=Dx所以通常把自变量x的增量Dx称为自变量的微分记作dx即dxDx因此函数yf(x)的微分又可记作dyf(x)dx自变量的微分二、微分的几何意义当

9、Dx

10、很小时

11、Dydy

12、比

13、Dx

14、小得多因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段Dy是曲线上点的纵坐标的增量;dy是过点(x0f(x0))的切线上点的纵坐标的增量.当x从x0变到x0+Dx时三

15、、基本微分公式与微分运算法则d(xm)mxm1dxd(sinx)cosxdxd(cosx)sinxdxd(tanx)sec2xdxd(cotx)csc2xdxd(secx)secxtanxdxd(cscx)cscxcotxdxd(ax)axlnadxd(ex)exdx(xm)mxm1(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx(ax)axlna(ex)ex微分公式:导数公式:1.基本初等函数的微分

16、公式微分公式:导数公式:2.函数和、差、积、商的微分法则公式d(uv)vduudv的证明因为d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx而udxduvdxdv所以d(uv)vduudv(uv)uv(Cu)Cu(uv)uvuvd(uv)dudvd(Cu)Cdud(uv)vduudv求导法则微分法则求下列函数的微分（A）（B）解：解法一：由微分法则解法二：由微分定义练习求下列函数的微分设yf(u)及uj(x)可微则复合函数yf[j(x)]的微分为dyyxdxf(

17、u)j(x)dx因为j(x)dxdu所以复合函数yf[j(x)]的微分公式也可以写成dyf(u)du或dyyudu3.复合函数的微分法则由此可见无论u是自变量还是另一个变量的可微函数微分形式dyf(u)du保持不变这一性质称为微分形式不变性在求复合函数的导数时可以不写出中间变量例3ysin(2x1)求dy2cos(2x1)dxcos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sinu)cosudu若yf(u)uj(x)则dyf(u)du解把2x1看成中间变量u则例

18、4解例5ye13xcosx求dy