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时间:2019-07-13
《函数的微分及其应用(I)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、引例一块正方形金属片受热后其边长x由x0变到x0Dx考查此薄片的面积A的改变情况.因为Ax2所以金属片面积的改变量为DA(x0Dx)2(x0)22x0Dx(Dx)2A=x02x0x0xxx0xx0x(x)2当Dx0时(Dx)2o(Dx)DA的主要部分是Dx的线性函数2x0Dx2x0Dx是DA的近似值一、微分的定义设函数yf(x)在某区间内有定义x0及x0Dx在这区间内如果函数的增量Dyf(x0Dx)f(x0)可表示为DyADxo(Dx)其中A是不依赖于Dx的常数o(Dx)是比Dx高阶的无穷小那
2、么称函数yf(x)在点x0是可微的而ADx叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分记作dy即dyADx微分的定义函数f(x)在点x0可微函数f(x)在点x0可导并且Af(x0)可微与可导的关系yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)dy=ADx这是因为一方面另一方面其中a0(当Dx0)且A=f(x0)是常数aDxo(Dx),函数yf(x)在任意点x的微分称为函数的微分记作dy或df(x)即dyf(x)Dx例如dcosx(cosx)DxsinxDxdex(ex)Dx
3、exDxyf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)dy=ADx可微与可导的关系函数f(x)在点x0可微函数f(x)在点x0可导并且Af(x0)例1求函数yx2在x1和x3处的微分dy(x2)
4、x1Dx2Dx函数yx2在x3处的微分为dy(x2)
5、x3Dx6Dx例2求函数yx3当x2Dx002时的微分yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)dy=ADx解函数yx2在x1处的微分为解先求函数在任意点x的微分dy(x3)Dx3x2Dx再求函数当x2Dx002时的
6、微分dy
7、x=2,Dx=0.02=3220.02=0.24=3x2
8、x=2,Dx=0.02求函数当从2变到1.99时的微分4、练习因为当y=x时dy=dx=(x)Dx=Dx所以通常把自变量x的增量Dx称为自变量的微分记作dx即dxDx因此函数yf(x)的微分又可记作dyf(x)dx自变量的微分二、微分的几何意义当
9、Dx
10、很小时
11、Dydy
12、比
13、Dx
14、小得多因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段Dy是曲线上点的纵坐标的增量;dy是过点(x0f(x0))的切线上点的纵坐标的增量.当x从x0变到x0+Dx时三
15、、基本微分公式与微分运算法则d(xm)mxm1dxd(sinx)cosxdxd(cosx)sinxdxd(tanx)sec2xdxd(cotx)csc2xdxd(secx)secxtanxdxd(cscx)cscxcotxdxd(ax)axlnadxd(ex)exdx(xm)mxm1(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx(ax)axlna(ex)ex微分公式:导数公式:1.基本初等函数的微分
16、公式微分公式:导数公式:2.函数和、差、积、商的微分法则公式d(uv)vduudv的证明因为d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx而udxduvdxdv所以d(uv)vduudv(uv)uv(Cu)Cu(uv)uvuvd(uv)dudvd(Cu)Cdud(uv)vduudv求导法则微分法则求下列函数的微分(A)(B)解:解法一:由微分法则解法二:由微分定义练习求下列函数的微分设yf(u)及uj(x)可微则复合函数yf[j(x)]的微分为dyyxdxf(
17、u)j(x)dx因为j(x)dxdu所以复合函数yf[j(x)]的微分公式也可以写成dyf(u)du或dyyudu3.复合函数的微分法则由此可见无论u是自变量还是另一个变量的可微函数微分形式dyf(u)du保持不变这一性质称为微分形式不变性在求复合函数的导数时可以不写出中间变量例3ysin(2x1)求dy2cos(2x1)dxcos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sinu)cosudu若yf(u)uj(x)则dyf(u)du解把2x1看成中间变量u则例
18、4解例5ye13xcosx求dy
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