函数微分学及其应用(I)

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1、第二章一元函数微分学及其应用第一节一元函数的导数与微分第二节导数的应用第一节一元函数的导数与微分一、导数的定义二、求导法则和基本求导公式三、函数的微分1.导数的定义引例一、导数的定义M,N为曲线C上不同点，作割线MN．当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置M，直线MT就称为曲线C在点M处的切线．极限位置即导数的概念其它形式即★★关于导数的说明：2.左、右导数3.可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证连续函数不存在导数举例注意:该定理的逆定理不成立.★步骤:例1解4.求导举例例2解更一般地例如,例3解例4解几何意义：切线方程为法线方程为5.导数的几何意义定理二、求

2、导法则和基本求导公式1.导数的运算法则例1解同理可得例2解同理可得2.反函数的求导法则即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.3.基本初等函数的求导法则4.复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?5、隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数的导数隐函数求导过程:参数方程所确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则得6.高阶导数记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数,高阶导数的概念二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例解同理可得求正弦函

3、数与余弦函数的n阶导数.高阶导数的计算三、函数的微分1.微分的定义(微分的实质)定理证(1)必要性2.可导与可微的关系(2)充分性3.微分的运算法则求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1)基本初等函数的微分公式2)微分的四则运算法则3)复合函数的微分法则4.微分在近似计算中的应用计算函数增量的近似值常用近似公式证明