函数的微分及其应用

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1、第四节　函数的微分及其应用一、微分概念二、微分的几何意义第三模块　函数的微分学三、微分的基本公式及其运算法则四、微分在近似计算中的应用五、多元函数的全微分一、微分概念先来看一个例子，边长为x的正方形，其面积增加多少？面积的增加部分记作S，则S=(x+x)2-x2=2xx+(x)2，当x很小时，例如x=1，x=0.01，则2xx=0.02，设正方形的面积为S，当边长增加x时，而另一部分x2=0.0001，当x越小时，x2部分就比2xx小的更多.因此，如果要取S的近似值时，显然2xx是S的一个很好的近似，2xx就称为S=x2的微分.定义设函数y

2、=f(x)在点x的一个邻域内有定义，y=Ax+，其中A与x无关，是x的高阶无穷小量，则称Ax为函数y=f(x)在x处的微分，记作dy，即dy=Ax.这时也称函数y=f(x)在点x处可微.如果函数f(x)在点x处的增量y=f(x+x)-f(x)可以表示为例1设y=x3，求x=1处的微分.解y=(1+x)3–13=3x+3(x)2+(x)3.上式可以看成两部分组成，它是x的高阶无穷小量，所以函数y=x3在点x=1处的微分是dy=3x.为了方便起见，把自变量的增量x写成dx，即x=dx.从而dy=Adx.第一部分具有Ax形式的是3x，第二

3、部分是3(x)2+(x)3，这是因为则函数y=f(x)在点x处可导，反之，如果函数y=f(x)在点x处可导，证因为f(x)在点x处可微，即f(x)在点x处可导，且A=f(x).y=Ax+.且A=f(x).所以有定理1设函数y=f(x)在点x可微，则f(x)在点x可微.从而有(这是根据极限与无穷小的关系得出的).得y=f(x)x+x.所以，函数f(x)可微.且dy=f(x)x或dy=f(x)dx.①反之，因f(x)在x处可导，即上述定理可叙述为：函数f(x)在x处可微的充要条件是函数f(x)在x处可导.①式也可以写为解因为所以例2求函数y=2l

4、nx在x处的微分，并求当x=1时的微分(记作dy

5、x=1).NTMP二、微分的几何意义如图所示，就是曲线y=f(x)在点P处切线的纵坐标在相应处x的增量，而y就是曲线y=f(x)的纵坐标在点x处的增量.xx+xy=f(x)yxaOPN=dx，NM=y，所以dy=NT，NT=PNtan=f(x)dx，即函数y=f(x)的微分dyMNPNTNdy1.基本初等函数的微分公式dc=三、微分的基本公式及其运算法则0.dx=x-1dx.dex=exdx.dax=axlnadx.dsinx=cosxdx.dcosx=-sinxdx.dtanx=sec2xdx.dcotx=

6、-csc2xdx.dsecx=secxtanxdx.dcscx=-cscxcotxdx.2.微分的四则运算定理2设函数u、v可微，则d(uv)=dudv.d(uv)=udv+vdu.证上述三个公式证法均类似，其余由读者作为练习自证之.d(uv)=(uv)dx=(uv+vu)dx=uvdx+vudx.因为vdx=dv，udx=du.所以有d(uv)=udv+vdu.推论1当v为常数c时，则d(cu)=cdu.推论2当v=1时，我们只证第二个，则例3设y=3ex–tanx，求dy.解dy=d(3ex)–dtanx=3dex–sec2xdx=3exdx–sec2

7、xdx=(3ex–sec2x)dx.例4设y=excosx，求dy.解dy=d(excosx)=exdcosx+cosxdex=ex(cosx-sinx)dx.例5求dy.解3.复合函数的微分定理3设函数y=f(u)，u=(x)均可微，dy=f(u)(x)dx.则y=f((x))也可微，且由于du=(x)dx，所以上式可写为dy=f(u)du.从上式的形式看，它与y=f(x)的微分dy=f(x)dx形式一样，这叫一阶微分形式不变性.其意义是：不管u是自变量还是中间变量，函数y=f(u)的微分形式总是dy=f(u)du.例6设y=sin(2x)，求微分dy

8、.解利用微分形式不变，有dy=cos2xd(2x)=2cos2xdx.例7设y=e-3xcos2x，求dy.解dy=d(e-3xcos2x)=e-3xdcos2x+cos2xde-3x=-e-3xsin2xd(2x)+e-3xcos2xd(-3x)=-e-3x(2sin2x+3cos2x)dx，由此也可知y=-e-3x(2sin2x+3cos2x).四、微分在近似计算中的应用当

9、x

10、很小时(记作

11、x

12、<<1)，ydy.即f(x0+x)-f(x0)f(x0)x，或f(x)f(x0)+f(x0)(