函数的极值与最大值最小值(VI)

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1、第五节函数的极值与最大值最小值二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法极值定义一、函数的极值及其求法如果对有函数的极大值与极小值统称为极值.函数的极大值点与极小值点统称为极值点.为极大值点为极小值点注:函数的极大值和极小值是局部性概念。极值点一定在区间内部取得,不能在区间端点取得.极值点不唯一,极大值不一定比极小值大.最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值.费马(Fermat)引理若则(山峰、山谷若有切线必有水平切线)通常称导数为零的点为函数的驻点或稳定点费马引理指出：①可导函数f(x)的极值点必定是该函数的驻点.但驻点不一定是极值点

2、②不可导点也可能取得极值例如,例如,内可导,(自证)定理1(极值第一充分条件)(是极值点情形)(不是极值点情形)的极值.解:2)求极值可疑点令得驻点3)列表判断是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为例1.求函数确定函数极值点和极值的步骤(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间，列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点是否是极值点如果是极值点是极大值还是极小值;定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.定理2表明：f(x0)0那么该点x0一定是极值点但如果

3、f(x0)0定理2失效如果函数f(x)在驻点x0处的二阶导数的极值.解:2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.例2.求函数定理2失效其最值可能在极值点在驻点、不可导点处取得二、最大值与最小值问题②区间的内部（即极值点处）取得。①区间的端点处取得，一定是在所有的极值点和区间的端点处取得.求函数最值的方法:（1）求出函数所有的驻点和不可导点（2）求出函数所有的驻点、不可导点和端点的函数值比较大小，其中最大者为最大值，最小者为最小值当在上单调时,最值必在端点处达到.对实际问题求最值,往往根据实际意义断定函数特别:该函数在区间

4、内部只有一个驻点，则该唯一驻点确有最大或最小值，且一定在区间内部取得，若一定是最值点，不必讨论是否为极值点。例3又解:显然一定取得最大值与最小值.因为比较得-3-2-112342468例3例4.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;应用问题某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月180元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加10元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入？例5.解设房租为每月x元

5、,租出去的房子有每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为例6.解如图,解得问题转化成求函数或求作业P1621(5),(9);2;3;5;10;14;15