函数的最大值与最小值(VI)

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1、函数的极值与最值例1:求函数的极值.解:令=0,解得x1=-1,x2=1.当x变化时,,y的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(2,+∞)y’-0+0-y↘极大值-3↗极小值3↘因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.例题选讲例2:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:由题意,应有根,故5a=3b,于是:(1)设a>0,列表如下:x-1(-1,1)1+0≤00+f(x)↗极大值↘极小值↗由表可得,即.又5a=

2、3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a<0,列表如下:x-1(-1,1)1-0≥00-f(x)↘极小值↗极大值↘由表可得,即.又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.例3:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:令,解得x=-1,0,1.当x变化时,的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13从上表可知,最大值是13,最小值是4.延伸1:设,函数的最大值为1,最小值为,求常数a,b.解:令得x=0或a.当x变化时,,f(x)

3、的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1f’(x)+0-0+f(x)-1-3a/2+b↗b↘-a3/2+b↗1-3a/2+b由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(0)>f(-1),f(1)>f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b=1.又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-3a/2+b=-3a/2,所以xy例4:如图,在二次函数f(x)=4x-x2的

4、图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0

5、AB

6、=4x-x2,

7、BC

8、=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=

9、AB

10、

11、BC

12、=2x3-12x2+16x(0

13、求函数的最值时,应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较.3.应用问题要引起重视.(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、不等式的证明及解法中有广泛的作用。(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内存在最大(小)值,而且函数在这个定义域内又只有唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函

14、数值就是最大(小)值,这一点在解决实际问题时很有用.