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时间:2019-07-13
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1、第三章 导数的应用第三节 函数的最大值和最小值例1试求函数f(x)=3x4-16x3+30x2–24x+4在区间[0,3]上的最大值和最小值.解f(x)=12x3-48x2+60x–24令f(x)=0,得驻点x=1,x=2,它们为f(x)可能的极值点,算出这些点及区间端点处的函数值:=12(x-1)2(x-2),f(0)=4,f(1)=-3,f(2)=-4,f(3)=13,将它们加以比较可知在区间[0,3]上f(x)的最大值为f(3)=13,最小值为f(2)=-4.例3设圆柱形有盖茶缸容积V为常数,求表面积为最小时,底半
2、径x与高y之比.解(1)建立目标函数.茶缸容积为V=x2y,设表面积为S,则S=2x2+2xy,因为V为常数,所以,由此可得目标函数——茶缸表面积的表达式xy(2)求S(x)的最小值.因为令S(x)=0,得可能极点值333(3)求底半径与高之比.因此,当底半径与高之比为,即当其直径与高相等时,茶缸的表面积最小.333例4某厂有一个圆柱形油罐,其直径为6m,高为2m,想用吊臂长为15m的吊车(车身高1.5m)把油罐吊到6.5m高的平台上去,试问能吊上去吗?解(1)建立目标函数,设油罐吊起高度为h,h=BC=BE–DE–
3、CD,BE=AEsinj,DE=FDtanj.h=15sinj–3tanj–2,因为AE=15,FD=3,CD=2,所以目标函数为吊杆与水平线的夹角为j,由图可知hFCDjjEA15m2m1.5mBChj(2)求目标函数的最大值.因为即15cosj–3sec2j=0,得cos3j=0.2,于是查表可得j54.由实际问题可知h的最大值是存在的,所以可以断言当j54时,h取得最大值,且最大值为而在内目标函数的驻点又只有一个,h
4、j5415sin54–3tan54–26(m).由于车身高1.5m,因此实际可以将
5、油罐吊到约7.5m的高度,因而肯定能将它吊到6.5m高的平台上去.
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