《函数的最大值和最小值》

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1、函数的最大值和最小值【教学目标】一、理解函数的最人(小)值的意义，掌握利用导数求函数最人(小)值的方法；并能解决一些实际问题；二、加深对导数意义的认识，提高分析问题和解决问题的能力；三、数学应用于实践，推动社会不断进步，激发学习动力，学会数学地思考；四、体验数学应用广泛性，培养学好数学的信念。【教学重点难点】一、利用导数求函数最值的方法。二、求一些实际问题的最大值与最小值。【教具使用】CAI课件、多媒体辅助教学【课时安排】1课时【教学过程】一、设置情境，引入课题：观察下面一个定义在区间［a,b］上的函数f(x

2、)的图像。(如图1)我们知道，图中f(xj与f(xj是极小值，f(0)是极人值。在解决实际问题时，往往关心的是函数在指定区间上，哪个值最人？哪个值最小？从图屮可以看出，函数在［a,b］上的最大值是f(b),最小值是f(x2)o二、新课探究1.函数最值的概念。定义：b］上所有点处的两数石i；的最人(•或蠢小)值，叫做函数f(x)的最大(或最小)值。一般地，在闭区间上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最人值与最小会值。注：在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值。例如f(x)=l/x在(0,

3、+QO)内连续，但没有最人值与最小值。2.求可导函数f(x)在g,b］上最大值、最小值的方法。结合上图的例子不难看出，只耍把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比鮫，就可以求出函数的最人(最小)值了。例1(教材P137例］)求函数/(x)=x4-2x2+5在区间［—2,2］上的最大值与最小值。解：y'=4x3-4xo令)『二0,有4x：-4x=0,解得：x=—1,0,1当x变化时，才，y的变化情况如下表:X-2(-2,1)-1(-1,0)—0+y1340(0,1)1(1,2)20—0+5413从上表可以看出，

4、最大值是13,最小值是4。(如图2)。【解题回顾】设函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在［a,b］±的最大值与最小值的步骤如下:（1）求f（x）在（a,b）内的极值；••••••••••••••••（2）将f（x）的各极值A/f（a）,f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••最小值。•••K对应练习H：（P138练习）求下列函数在所给区间上的最人值与最小值。（1）y二x—X；xG[0,2]:（

5、2）y二x'+x"—x,xE[—2,1]o2参考答案：（1）y最大值二一能，y用小值=—6；（2）y林值=1,y最小值二一2。9【解题回顾】在求导数在闭区间[a,b]上最值过程屮，判断极值比较麻烦，可改求可导函数在（a,b）内导数为0点函数值，再把这些值与函数在端点的值比较即可。例2（教材P138例2）在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图3）,做成一个无盖的方底箱了，底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少？解：设箱底边长为x,则箱高h=60-x/2箱子容积V（x

6、）=x2h=（60x2-x3）/2（0

7、定义域端点函数值的人小，结合实际问题,确定最人值或最小值点O2.在实际问题屮，有时会遇到在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值。这时所说的也适用于开区问或无穷区间。K对应练习几（教材P139例3）本章引言屮的问题。圆柱形金属饮料罐的容积一定吋，它的髙与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？（如图4）解：设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积S=2JiRh+2JiR2v由V=nRh,得h-,贝兀R?V2VS（R）二2hR—+2nR2=—+2J

8、iR27lR2R2VR2S'（R）=——+4jiR=0因为只冇一个极值，所以它是最小值。答：当罐的高与底肓径相等时，所用材料最省。三、反馈练习：1.函数y=2x3-6x2-18x-7在［一3,4］上的最小值为（D）A、-64B、-51C、-56D、-612.函数y=x+J4x-丘在上的最人值为（B）A、2+2血B、4C、逅D、53.函数/（x）=sinx+cosx在炸［-£,£］时的最人、最小值分别