函数的最大值和最小值(VI)

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1、第三章　导数的应用第三节　函数的最大值和最小值例1试求函数f(x)=3x4-16x3+30x2–24x+4在区间[0,3]上的最大值和最小值.解f(x)=12x3-48x2+60x–24令f(x)=0，得驻点x=1，x=2，它们为f(x)可能的极值点，算出这些点及区间端点处的函数值：=12(x-1)2(x-2)，f(0)=4，f(1)=-3，f(2)=-4，f(3)=13，将它们加以比较可知在区间[0,3]上f(x)的最大值为f(3)=13，最小值为f(2)=-4.例3设圆柱形有盖茶缸容积V为常数，求表面积为最小时，底半

2、径x与高y之比.解(1)建立目标函数．茶缸容积为V=x2y，设表面积为S，则S=2x2+2xy，因为V为常数，所以，由此可得目标函数——茶缸表面积的表达式xy(2)求S(x)的最小值.因为令S(x)=0,得可能极点值333(3)求底半径与高之比.因此，当底半径与高之比为，即当其直径与高相等时，茶缸的表面积最小.333例4某厂有一个圆柱形油罐，其直径为6m，高为2m，想用吊臂长为15m的吊车(车身高1.5m)把油罐吊到6.5m高的平台上去，试问能吊上去吗？解(1)建立目标函数，设油罐吊起高度为h，h=BC=BE–DE–

3、CD,BE=AEsinj，DE=FDtanj.h=15sinj–3tanj–2，因为AE=15,FD=3，CD=2，所以目标函数为吊杆与水平线的夹角为j，由图可知hFCDjjEA15m2m1.5mBChj(2)求目标函数的最大值.因为即15cosj–3sec2j=0，得cos3j=0.2，于是查表可得j54.由实际问题可知h的最大值是存在的，所以可以断言当j54时，h取得最大值，且最大值为而在内目标函数的驻点又只有一个，h

4、j5415sin54–3tan54–26(m).由于车身高1.5m，因此实际可以将

5、油罐吊到约7.5m的高度，因而肯定能将它吊到6.5m高的平台上去.