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1、函数的极值及其求法最大值最小值问题第五节函数的极值与最值第三章微分中值定理与导数的应用(extremevalue)1定义极大值(或极小值),函数的极大值与极小值统称为极值.极值点.函数的极值与最大值最大值一、函数的极值及其求法1.函数极值的定义使函数取得极值的点x0(自变量)称为2函数的极值与最大值最大值函数极值----局部性.在一个区间内,函数可能存在许多个极值.3定理1(必要条件)注如,(1)驻点.可导函数的极值点驻点却不一定是极值点.但函数的2.极值的必要条件函数的极值与最大值最大值必是驻点,费马引理回忆极
2、值,4极值点也可能是导数不存在的点.如,但怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点单减的分界点,(2)不可导.是极小值点.是不是极值点若x0是连续函数f(x)单增、则x0必为极值点.几何上,函数的极值与最大值最大值5定理2(第一充分条件)则为极大值则不是极值.(极小值);极值的一阶充分条件函数的极值与最大值最大值3.极值的充分条件.),(0o内可导dxU6求极值的步骤求导数;求驻点与不可导点;求相应区间的导数符号,判别增减性;求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值点函数的极值与最大值最大值7例解(1)(2)驻点:导
3、数不存在的点:(3)列表.确定极值点和极值.函数的极值与最大值最大值求相应区间的导数符号,判别增减性,8非极值极小值不存在极大值驻点:导数不存在的点:函数的极值与最大值最大值9例解函数的极值与最大值最大值第一充分条件10定理3(第二充分条件)证极大值(极小值).当充分小时,由极限的保号性与异号.所以,第一充分条件函数的极值与最大值最大值11例解函数的极值与最大值最大值12注函数的极值与最大值最大值(第二充分条件)不能应用.可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值.13设是方程的一解,若且则在(A)取得极大值(
4、B)取得极小值(C)在某邻域内单调增加(D)在某邻域内单调减少提示得A函数的极值与最大值最大值练习利用方程,代入042=+¢-¢¢yyy14函数的极值与最大值最大值二、最大值最小值问题1.最值的求法15(1)求闭区间[a,b]上连续函数f(x)的最值:函数的极值与最大值最大值求闭区间[a,b]内所有驻点和导数不存在的点，最值必在端点处达到.(2)比较嫌疑点的函数值和f(a),f(b)当f(x)在[a,b]上单调时,(4)(3)若连续函数f(x)在区间I内唯一极值点就是最值点对实际问题唯一嫌疑点就是最值点。16例解
5、驻点:导数不存在的点:函数的极值与最大值最大值仅需计算:比较得:是偶函数,最大值为最小值为17函数的极值与最大值最大值练习解驻点:导数不存在的点:最大值最小值最大值与最小值.18实际问题求最值应注意函数的极值与最大值最大值(1)建立目标函数;(2)求最值;目标函数唯一驻点处取得所求最值。19例解目标函数2.应用举例(1)(2)求最大值点函数的极值与最大值最大值半径为R.求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的设圆柱体的高为2h,底半径为r,体积为V,令得(舍去负值)唯一驻点20例敌人乘汽车从河的北岸A处以1公里/分的
6、速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2公里/分．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？北南西东解敌我相距函数函数的极值与最大值最大值得唯一驻点21例某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月720元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加40元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费80元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?解设房租为每月元，租出去的房子:每月总收入:套函数的极值与最大值最大值（唯一驻点）22例解函数的极值与最大值最大值解得唯一驻点令23三、小
7、结函数的极值与最大值最大值函数的极值必在驻点和导数不存在的点取得.极值的判别法第一充分条件;极值:局部性概念;极值与最值的区别最值:整体性概念.实际问题求最值的步骤.第二充分条件,24
