函数的极值与最大值最小值

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1、第五节函数的极值与最大值最小值一、函数极值的定义二、函数极值的求法五、小结思考题三、最值的求法四、应用举例1.【定义】函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.2.【有关极值概念的几点说明】（1）极值是一个局部性的概念.且不一定唯一.（2）极大值不一定比极小值大，还可能相等.（3）某区间上可能有几个极大值，几个极小值，也可能无极值.（4）由极值定义可知：极值只能在区间内部取得，不能在区间的端点处取得.二、函数极值的求法①【定理1】②【定义】③【注意】［例如］（费玛引理）即：可导函数取得极值的必要条件.(ⅰ)可导函数的极值点必定是它的驻点,但

2、函数的驻点却不一定是极值点.1.可导函数取极值的必要条件(ⅱ)极值点也不一定是驻点，如y=

3、x

4、在x=0点.【定理2】2.判定极值的方法(1)第一充分条件函数在不可导点处也可能取得极值.如然而取极小值去心邻域内可导故可用第一充分条件（定理2）判断.(2)【求极值的步骤】若函数f(x)在所论区间内连续,除个别点外处处可导；则②求出全部驻点与不可导点①求导数f(x)③列表考查f(x)在这些点左右的正负号，判断极值点.④求极值【注】【例1】【解】列表讨论极大值极小值【例2】【解】【举例】函数的不可导点,也可能是函数的极值点.极大值1【定理3】【证】同理可证(2)

5、.(3)第二充分条件由极值第一充分条件【说明】①定理不能判别如但它们分别取极小值、极大值和不取极值.此时应该用第一充分条件判别.【例3】【解】图形如下三、最值的求法⑴最值问题：在工农业生产、工程技术和科学实验中，常常会遇到在一定的条件下，怎样使“成本最低”、“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”等问题，这类问题一般可化为求某一函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题。⑵最值定义：函数的最大值与最小值统称为最值，使函数取得最值的点称为最值点。⑶最值与极值的区别：①极值是对极值点的某个邻域，最值是对整个定义区间。②极值只能在区间内取，最值可在端点或区间内取得。从

6、以上几段曲线可以看出：最值可以在开区间(a,b)内点处取得，即极值点，也就是有限个驻点与导数不存在的点，同时最值也可以在整个区间的端点处取得。由此可按以下方法进行求最值。【闭区间上的连续函数求最值的步骤】1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,【注意】在实际问题，如果开区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)3.比较2中诸值的大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;四、应用举例【例1】【解】驻点为不可导点有两个为：比较得由于【注意】故由此得敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从

7、河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？点击图片任意处播放暂停【例2】【解】(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点【特别注意】若函数在一个区间（有限或无限、开或闭）内可导且只有一个驻点，且这个驻点是函数的极值点，则这个极值就是函数在这个区间内的最值（如下图示）.常利用此性质证明不等式：如《高数学习指导》P783（9）①—⑧【实际问题求最值应注意】(1)建立目标函数;(2)求最值;【例3】某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租

8、不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？【解】设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为【例4】点击图片任意处播放暂停【解】如图,解得三、小结可能极值点①可导函数的可能极值点：驻点②连续函数的可能极值点：驻点、不可导点③一般函数的可能极值点：驻点、连续但不可导的点、有定义的间断点（第一或第二充分条件判别）（第一充分条件判别）（用极值定义判别）如总习题三P18112题驻点和不可导点统称为临界点.(请注意和教材上的临界点的区别.见教材P127)函数的极值必在

9、临界点取得(指连续函数).判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)用极值定义【思考题】下命题正确吗？【思考题解答】不正确．例在–1和1之间振荡故命题不成立．