3.5 函数的极值与最大值最小值

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1、第3章中值定理与导数的应用3．5函数的极值与最大值最小值习题解1．求下列函数的极值：⑴；【解法一】应用一阶导数判别法函数的定义域为，由得函数有两个驻点和，无不可导点，作图表分析：可知，函数在处有极大值，在处有极小值。【解法二】应用二阶导数判别法函数的定义域为，由得函数有两个驻点和，无不可导点，因为，有，，可知，函数在处有极大值，在处有极小值。⑵；【解】函数的定义域为，7第3章中值定理与导数的应用3．5函数的极值与最大值最小值习题解由得函数有一个驻点和一个一阶不可导点，作图表分析：可知，函数在处有极大值，在处有极

2、小值。（由于函数有不可导点，故不可使用二阶导数判别法）⑶；【解】函数的定义域为，由，得函数有驻点（），无不可导点，又因，而当角度落在第四象限时，，当角度落在第二象限时，，因此，应将驻点（），分为两类：（）（第四象限角）和（）（第二象限角），由于当时，得（），当时，得（），7第3章中值定理与导数的应用3．5函数的极值与最大值最小值习题解可知，函数在（）处有极小值（），在（）处有极大值（）。（课本后附答案将全部极值错认为只是极小值）（由于函数有无数个驻点，将定义域划分成无数个区间，而在这些区间上判别导数符号比较麻烦

3、，因此本题中不便于应用一阶导数判别法。）⑷；【解】函数的定义域为，由得知函数无驻点，也无不可导点，易见，当时，，可知，函数是单调函数，无极值。⑸；【解】函数的定义域为（），由（因为）恒成立，可知，函数是单调函数，无极值。⑹。【解】函数的定义域为，由于恒成立，7第3章中值定理与导数的应用3．5函数的极值与最大值最小值习题解可知，函数是单调函数，无极值。2．求下列函数的最值：⑴，；【解】因为，得函数在区间上有驻点和，无不可导点，于是，计算驻点值与边界值：，，，，对比易知，函数在上有最大值21，最小值－43。⑵，。【

4、解】因为，令，即，解之得，得函数在区间上有一个驻点，一个不可导点，于是，计算驻点值、不可导点值与边界值：，，，7第3章中值定理与导数的应用3．5函数的极值与最大值最小值习题解，下面比较两个值和与1的大小关系：易知；而，从而知，函数在上有最大值，最小值。3．试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。【解】函数的定义域为，由于，得函数有一个驻点，无不可导点，因此，要使函数在处取得极值，应使，亦即。这时，，，易见，当时，，当时，，即知，函数在处取得极小值，它是。4．一正方形铁皮，边长为厘米，从

5、它的四角截去四个相等的小正方形，剩下的部份做成一个无盖的盒子，问被截去的小正方形的边长为多少厘米时，才能使盒子的容积最大？【解】设被截去的小正方形的边长为厘米，则盒子的容积为立方厘米，由于，得函数在定义区间内仅有一个驻点，无不可导点，7第3章中值定理与导数的应用3．5函数的极值与最大值最小值习题解而，得，知曲线在处是凸的，取得最大值，于是知，当被截去的小正方形的边长为厘米时，可使盒子的容积最大。5．某水厂要造一个容积为的圆柱形带盖储水池，问如何确定底半径和高，使得所用的材料最省？【解】由已知有，于是得，那么圆柱

6、形带盖储水池所用的材料为其表面积，即侧面积+上下底面积，，有，得表面积函数有一个驻点，无不可导点，由于，知曲线是凹的，从而为最小值点，这时，，即知，当，时，储水池的材料最省，亦即：当容积一定时，使圆柱形带盖储水池的高为底半径的两倍时，所用的材料最省。6．某房地产公司有50套公寓要出租，当租金为每月180元时，公寓可全部出租出去，当每月租金每增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花20元的维修费用。试问房租定为多少可获得最大收入？【解】设租金为每月元，租不出去的公寓数量为套，由题设，得元，租金收

7、入为元，,而维修费用为元，7第3章中值定理与导数的应用3．5函数的极值与最大值最小值习题解出租房屋的总收入为，由于，得函数有一个驻点，无不可导点，再因，知曲线是凸的，从而是最大值点，这时，，可知，房租定为每月350元时可获得最大收入。7