高数同济§3.5函数的极值与最大值最小值

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1、§3.5函数的极值与最大值最小值函数极值的定义函数极值的求法最值的求法应用举例一、函数极值的定义定义使函数取得极值的点称为极值点.极值二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,极值点驻点可导定理2(第一充分条件)(是极值点情形)定理2(第一充分条件)(不是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)(是极值点情形)例1求函数的极值.解:1)求导数2)求可能的极值点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为例2解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.(不是极值点——弯曲方向改变)(是

2、极值点——曲线弯曲方向不变)定理3(第二充分条件)定理3(第二充分条件)证同理可证(2).由极限的局部保号性例3求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.P156-2定理3(第二充分条件)三、最值的求法步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值.注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)四、应用举例例4解计算比较得实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求

3、最值;(k∈R)例5.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问km,公路,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？例6解设房租为每

4、月元，租出去的房子有套，每月总收入为（目标函数）未租出房子为套，P161-15（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为点击图片任意处播放暂停例6解如图,解得五、小结极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.2.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.3.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)1.注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.4.实际问题求最值的步骤.作业:P162:1-(1)(7)、3、4-（2）、6、9、13、思考题1下命题正确吗？思考题1解

5、答不正确．例在–1和1之间振荡故命题不成立．思考题2思考题2解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但解令f(x)=0,得x=1，∴x=1为极大值点，极大值∵在(-1，0)内，f(x)<0;在(0,1)内,f(x)>0;例6求的极值，并求其在[-1,1]上的最值。∴x=0为极小值点，极小值f(0)=0.例5.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁，问矩形截面的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求

6、结果就是最好的选择.