同济大学高数 第五节 函数的极值与最大值最小值课件.ppt

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1、第三章微分中值定理和导数的应用第五节函数的极值与最大值最小值问题：单调性发生改变的点是怎样的？定义内的一个点.对于该邻域内的设函数在区间内有定义,如果存在着点的一个邻域,任何点除了点外,均成立,称是函数的一个极大值;就是类似可定义极小值问题：单调性发生改变的点是怎样的？函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.如何求极值、极值点呢？函数极值的求法定理1(必要条件)设在点处可导,取得极值,则且在处费马引理设函数在点的某邻域并且在处可导，如果对任意的有(或)则定理2(第一充分条件)邻

2、域内连续并且可导设函数在点的某个(导数也可以不存在),(1)邻域内在点的右(2)邻域内在点的右(3)不变号,则在处没有极值.如果在点的左邻域内如果在点的左邻域内如果在点的邻域内,则在处取得极大值);(0xf则在处取得极小值);(0xf综上所述,可将求函数极值的步骤总结如下:(2)(1)(3)确定极值点;(4)求导数点及使不存在的求驻点,检查在左右的正负号,求出函数极值.例求出函数的极值.例求函数的单调增减区间和极值.定理3(第二充分条件)设在处具有二阶导数,且则(1)当时,函数在处取得极大值;(2)当

3、时,函数在处取得极小值.例求出函数的极值.例求函数的极值.例求出函数的极值.最大值最小值的求法若函数在上连续,除个别点外处处可导,并且至多有有限个导数为零的点,上的最值的计算步骤如下：则在1.求驻点和不可导点;2.求区间端点、驻点及不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,小哪个就是最小值.哪个注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是(最大值或最小值).最值例求的在上的最大值与最小值.例求函数在上的最大值及最小值.极值与最值应用题解决这类应用问题的关键:是恰当地选择自变量，建立正确而简单的

4、目标函数，即欲求其极值的某函数，把实际问题化为求该函数的极值问题.例某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月180元时,公寓会全部组出去.当租金每月增加10元时,就有一套公寓组不出去,而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?例由直线及抛物线围成一个曲边三角形,在曲边上求一点,使曲线在该点处的切线与直线及所围成的三角形面积最大.例求数列的最大项(已知).